三年级数学期末急救：剪最大的正方形易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲
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三年级
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2025-12-22
💡 阿星精讲：剪最大的正方形 的核心避坑原理
- 概念重塑：想象你是一位小裁缝，手上有一块长方形的布料（长 \( 10cm \)， 宽 \( 6cm \)）。你要从这块布里，完整地剪下一个最大的正方形手帕。如果只看长边有 \( 10cm \)，就剪一个边长 \( 10cm \) 的正方形——哦豁，布料宽度只有 \( 6cm \)，根本不够宽！这就是“短板效应”。所以，正方形的边长，不能超过布料最短的那条边。因此，最大的正方形边长就等于长方形的宽（\( 6cm \)）。剪完后，剩下的布是一个小小的长方形，它的长是原来长方形的长减去正方形的边长：\( 10 - 6 = 4cm \)，宽还是 \( 6cm \)。
- 避坑口诀：裁缝剪布有妙招，一边比一比谁小，宽边边长是上限，剪出正方错不了。
⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”
- ❌ 陷阱一（概念混淆型）：“最大的正方形，当然要用最长的边来剪啦！” → ✅ 正解：正方形的四条边必须相等，所以它的边长受限于长方形的短边。核心是“边长相等”这个限制条件。
- ❌ 陷阱二（视觉误导型）：当长方形横向放置时，容易把“长”和“宽”搞混，看到哪个数字大就选哪个。 → ✅ 正解：无论长方形怎么摆，较短的那条边才决定上限。动手画图时，一定要先标出长和宽。
- ❌ 陷阱三（计算粗心型）：知道正方形的边长是较短的边，但在求“剩下部分的周长或面积”时，直接用原来的长和宽去算，忘了剩下的图形已经变小了。 → ✅ 正解：剪掉后，图形发生了变化！必须根据“剪”的动作，重新画出或想清楚剩下图形的长和宽，再进行计算。
🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）
【易错题1：概念陷阱】 下面两个长方形，分别能剪出的最大正方形，边长各是多少？
长方形A：长 \( 15cm \)， 宽 \( 8cm \)
长方形B：长 \( 7cm \)， 宽 \( 12cm \)
💀 错误率：85%
❌ 常见错误：学生看到长方形A，会选边长 \( 15cm \)；看到长方形B，虽然长是 \( 12cm \)，但可能因为数字大，也选 \( 12cm \)。
✅ 阿星解析：
- 裁缝法则：边长不能超过最短的边。
- 对于A：长 \( 15cm \)，宽 \( 8cm \)，较短的边是 \( 8cm \)。所以最大正方形边长是 \( 8cm \)。
- 对于B：长 \( 7cm \)，宽 \( 12cm \)，注意这里长比宽小！ 较短的边是 \( 7cm \)。所以最大正方形边长是 \( 7cm \)。
结论：永远看两个数里较小的那个。答案：A是 \( 8cm \)，B是 \( 7cm \)。
【易错题2：思维陷阱】 从一个长 \( 18cm \)、宽 \( 9cm \) 的长方形纸上，剪下一个最大的正方形后，剩下的小长方形周长是多少厘米？
💀 错误率：90%
❌ 常见错误：1. 直接用原长方形周长公式算：\( (18+9)\times2=54cm \)。2. 知道剪掉边长 \( 9cm \) 的正方形，但算剩下周长时用：\( (18 + 9) \times 2 = 54cm \) 再减去一个 \( 9 \times 4 = 36cm \)，得到 \( 18cm \)，思路混乱。
✅ 阿星解析：
- 先找最大正方形边长：较短边是 \( 9cm \)，所以剪下边长 \( 9cm \) 的正方形。
- 关键：重新确定剩下图形的长和宽。原长 \( 18cm \) 被用掉 \( 9cm \)，所以剩下部分的长是 \( 18 - 9 = 9cm \)。剩下部分的宽没有变，还是原来的宽 \( 9cm \)。
- 我们发现，剩下部分也是一个长方形，并且它的长和宽都是 \( 9cm \)，这竟然是一个正方形！
- 计算这个剩下正方形的周长：\( 9 \times 4 = 36cm \)。
阿星点睛：“剪”这个动作会创造新的图形，必须重新标数据，不能偷懒用原来的。
【易错题3：大题陷阱】 一张长方形彩纸，长 \( 25cm \)， 宽 \( 16cm \)。小星想从中剪出若干个同样大的、尽可能大的正方形来做手工，并且没有剩余。请问：
- 每个正方形的边长最大是多少厘米？
- 一共可以剪出多少个这样的正方形？
💀 错误率：95%
❌ 常见错误：1. 第一问直接答 \( 16cm \)。2. 第二问用大面积除以小面积：\( (25\times16) \div (16\times16) \)，得出不是整数，不知道怎么处理。或者直接用 \( 25 \div 16 \) 去算个数。
✅ 阿星解析：
- “尽可能大且没有剩余”：这是个新条件！它意味着长方形的长和宽必须都能被正方形的边长整除。我们先从“最大”入手，候选边长是较短的边 \( 16cm \)。检查长边 \( 25cm \) 能否被 \( 16cm \) 整除：\( 25 \div 16 = 1...9 \)，不能整除，所以会有剩余，不符合“没有剩余”的要求。
- 我们需要找一个数，它既是长 \( 25 \) 和宽 \( 16 \) 的公共因数，又要尽可能大。三年级可以用枚举尝试法：比 \( 16 \) 小的数里，看哪个能同时整除 \( 25 \) 和 \( 16 \)。
- 尝试 \( 8 \)：\( 25 \div 8 = 3...1 \)（不行）
- 尝试 \( 5 \)：\( 25 \div 5 = 5 \)（可以），\( 16 \div 5 = 3...1 \)（不行）
- 尝试 \( 4 \)：\( 25 \div 4 = 6...1 \)（不行）
- 尝试 \( 2 \)：\( 25 \div 2 = 12...1 \)（不行）
- 尝试 \( 1 \)：\( 25 \div 1 = 25 \)， \( 16 \div 1 = 16 \)（可以）。
所以，最大的公共因数是 \( 1 \)。
- 第一问答案：每个正方形的边长最大是 \( 1cm \)。
- 第二问：沿着长边 \( 25cm \) 可以剪出 \( 25 \div 1 = 25 \) 个；沿着宽边 \( 16cm \) 可以剪出 \( 16 \div 1 = 16 \) 行。总个数：\( 25 \times 16 = 400 \) 个。
阿星点睛：当题目出现“若干个、同样大、没有剩余”时，正方形的边长可能就不是简单的“宽”了，而是长和宽的最大公因数（三年级可理解为“都能整除的最大数”）。这道题是思维的一大飞跃！
🚀 易错专项训练（你能全对吗？）
第一关：火眼金睛（判断对错 5题）
- 从长 \( 20cm \)、宽 \( 5cm \) 的长方形中剪最大的正方形，边长是 \( 20cm \)。（ ）
- 剪下最大正方形后，剩下部分一定是一个长方形。（ ）
- 长方形的长和宽相差越大，剪下的最大正方形面积就越小。（ ）
- 一个长 \( 8cm \)、宽 \( 8cm \) 的正方形纸，从中剪一个最大的正方形，边长是 \( 8cm \)。（ ）
- 从长 \( 30cm \)、宽 \( 15cm \) 的纸上剪最大的正方形，剩下部分周长是 \( 60cm \)。（ ）
第二关：防坑演练（填空 5题）
- 一张长方形卡纸，长 \( 24dm \)， 宽 \( 18dm \)。剪一个最大的正方形，这个正方形的周长是 \( \underline{\qquad} \) \( dm \)。
- 从长 \( 12m \)、宽比长短 \( 4m \) 的长方形篱笆上，截取一块最大的正方形区域种花。这个正方形区域的边长是 \( \underline{\qquad} \) \( m \)。
- 把一根长 \( 40cm \) 的铁丝围成一个长 \( 12cm \) 的长方形。从这个长方形中剪一个最大的正方形，正方形的边长是 \( \underline{\qquad} \) \( cm \)。
- 一个长方形，剪掉一个最大的正方形后，剩下小长方形的长是 \( 5cm \)，宽是 \( 3cm \)。原来长方形的长至少是 \( \underline{\qquad} \) \( cm \)，宽是 \( \underline{\qquad} \) \( cm \)。
- （挑战）一块长 \( 27cm \)、宽 \( 18cm \) 的蛋糕，要切成同样大的最大正方形小块且没有剩余，每小块蛋糕的边长是 \( \underline{\qquad} \) \( cm \)。
答案与详细解析
第一关：火眼金睛
- ❌。边长受限于短边 \( 5cm \)。
- ❌。也可能是一个正方形（如易错题2）或者图形消失（当长=宽时）。
- ✅。因为正方形边长等于宽，宽固定时，长宽差越大，意味着宽相对越小，正方形面积 \( 边长\times边长 \) 也就越小。
- ✅。它本身就是一个正方形，最大的正方形就是它自己。
- ✅。解析：最大正方形边长 \( 15cm \)。剩下部分长：\( 30-15=15cm \)，宽 \( 15cm \)，也是一个正方形。周长：\( 15 \times 4 = 60cm \)。
第二关：防坑演练
- \( 72 \)。边长是较短的 \( 18dm \)，周长 \( 18 \times 4 = 72dm \)。
- \( 8 \)。先求宽：\( 12 - 4 = 8m \)。最大正方形边长是较短的 \( 8m \)。
- \( 8 \)。先由周长求宽：长方形周长 \( 40cm \)，长 \( 12cm \)，则宽为 \( (40 \div 2) - 12 = 20 - 12 = 8cm \)。最大正方形边长是宽 \( 8cm \)。
- 长至少 \( 8 \)，宽 \( 3 \)。解析：剩下部分的长 \( 5cm \) 就是原长剪掉正方形边长后剩下的，宽 \( 3cm \) 就是原宽（也是正方形边长）。所以原长 \( = 5 + 3 = 8cm \)，原宽 \( = 3cm \)。“至少”是因为正方形边长也可能小于宽，但题目要求“最大正方形”，所以边长就等于宽 \( 3cm \)。
- \( 9 \)。解析：“同样大、最大、没有剩余”意味着找长 \( 27 \) 和宽 \( 18 \) 的最大公因数。\( 27 \) 的因数：1,3,9,27；\( 18 \) 的因数：1,2,3,6,9,18。最大公共因数是 \( 9 \)。
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