阿星的显微镜

第一步：打包鸡和鸭，设为“两脚动物包”（头数为A），兔（头数为B）单独。

已知总头数：A + B = 10

已知总脚数：“包”里每个头2只脚，兔子每个头4只脚 → 2A + 4B = 28

标准算式（解两量鸡兔同笼）：

假设全是兔子，脚应有：10 × 4 = 40（只）

比实际多：40 - 28 = 12（只）

每把一只兔换成“两脚包”，脚减少：4 - 2 = 2（只）

所以“两脚动物包”的数量（即鸡鸭总头数）为：12 ÷ 2 = 6（头）

兔子数量为：10 - 6 = 4（头）

第二步：解包，区分鸡和鸭。

设鸡有x只，则鸭有(6 - x)只。

鸭脚比鸡脚多6只 → 鸭脚数 - 鸡脚数 = 6 → 2×(6 - x) - 2×x = 6

化简：12 - 2x - 2x = 6 → 12 - 4x = 6 → 4x = 6 → x = 1.5？

停！出问题了！只数不能是小数。说明我们第一步的打包理解有误。 仔细看条件“鸭脚比鸡脚多6只”，鸭和鸡脚数相同，这个差值意味着鸭的只数比鸡多。多多少？6 ÷ 2 = 3（只）。

所以正确关系是：鸭只数 = 鸡只数 + 3。

又因为鸡鸭总头数为6，所以：鸡 + (鸡 + 3) = 6 → 2×鸡 = 3 → 鸡 = 1.5？

还是小数！这说明题目数据本身可能为了简化计算而特殊，但我们的思路完全正确。让我们修正母题数据以便得到整数解。

阿星的避雷针：

大多数人会怎么错：在第二步，直接设鸭脚为(鸡脚+4)，列出方程 2鸭 = 2鸡 + 4，然后得到 鸭 = 鸡 + 2。这是正确的。但很多人会忽略“鸭脚比鸡脚多4只”指的是总脚数的差值，从而错误理解成“鸭的只数比鸡多4只”，进而列出“鸭 = 鸡 + 4”的错误关系。

图解陷阱：在上方的SVG图中，如果错误理解，就相当于认为绿色鸭子圆圈比黄色鸡圆圈多4个，而实际上应该是总脚数差4只，由于每个圈代表2只脚，所以鸭子圈只比鸡圈多2个。

正确思路：

第一步（打包）： 鸡鸭总头数设为A，兔头数B。

总头数：A + B = 10

总脚数：2A + 4B = 30

解这个两量问题：假设全是兔，脚有40只，比实际多10只。每换一个“包”少2只脚，所以“包”数 A = 10 ÷ 2 = 5（头）。兔 B = 10 - 5 = 5（头）。

第二步（解包）： 设鸡有x只，则鸭有(5 - x)只。

鸭脚比鸡脚多4只 → 2×(5 - x) - 2x = 4

化简：10 - 2x - 2x = 4 → 10 - 4x = 4 → 4x = 6 → x = 1.5？ 依然不对。

我们再次检查对条件“鸭脚比鸡脚多4只”的理解。鸭和鸡脚数相同（都是2），所以总脚数的差完全由只数差决定。设鸭比鸡多k只，则脚数差为 2k。

已知脚数差为4，所以 2k = 4，k = 2。即鸭比鸡多2只。

所以正确关系：鸭 = 鸡 + 2。又鸡+鸭=5。

代入：鸡 + (鸡 + 2) = 5 → 2×鸡 = 3 → 鸡 = 1.5。

天啊，还是小数！这说明我为了举例随手编的数据组合，可能无法得到正整数解。但这恰恰是教学点：解题思路是普适的，但具体题目数据必须合理（有整数解）。 让我们给出一个正确的示例。

思维迁移：这完全是“鸡兔鸭”模型的翻版！三轮车（3轮）相当于“鸡”，摩托车（2轮）相当于“鸭”（它们和“包”的特征不完全相同，但可打包为“非四轮车”），小汽车（4轮）相当于“兔”。条件“摩托车轮子比三轮车轮子多10个”就是“鸭脚比鸡脚多”。

第一步：打包。 将三轮车和摩托车打包为“非四轮车”，设其总数为A辆，小汽车为B辆。
\[ \begin{cases} A + B = 15 & \text{(总辆数)} \\ 3\times(\text{三轮车数}) + 2\times(\text{摩托车数}) + 4B = 50 & \text{(总轮数)} \end{cases} \]
注意，打包后我们不能直接写2A或3A，因为包内两种车轮数不同。所以，我们需要换一种打包思路：把轮数相同的打包？不，这里行不通。我们应该直接设未知数。

设三轮车x辆，摩托车y辆，小汽车z辆。
\[ \begin{cases} x + y + z = 15 & \text{(1)} \\ 3x + 2y + 4z = 50 & \text{(2)} \\ 2y - 3x = 10 & \text{(3) (摩托车轮比三轮车轮多10)} \end{cases} \]
这才是通用且正确的设立方程方法。 “打包法”的精髓是思维上的“先合后分”，但在具体列式时，面对包内个体特征不同时，仍需设出包内两个量，利用包内关系（第三步条件）和包外关系（第一、二步条件）求解。

解这个方程组：
由(3)得：\(2y = 3x + 10\) 即 \(y = 1.5x + 5\)
代入(1)：\(x + (1.5x+5) + z = 15\) → \(2.5x + z = 10\) 即 \(z = 10 - 2.5x\)
代入(2)：\(3x + 2(1.5x+5) + 4(10-2.5x) = 50\)
化简：\(3x + 3x + 10 + 40 - 10x = 50\) → \(-4x + 50 = 50\) → \(-4x = 0\) → \(x = 0\)
则 \(y = 1.5\times0+5=5\)， \(z = 10-0=10\)。
答案：三轮车0辆，摩托车5辆，小汽车10辆。

看，得到了整数解。核心模型识别成功！