三年级数学期末急救：集合（重叠问题）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：集合（重叠问题） 的核心避坑原理

• 概念重塑：想象我们班有两个“兴趣社团”：唱歌团和跳舞团。有些同学很专一，只在一个团里。但还有几个同学特别厉害，他们既是唱歌团的成员，又是跳舞团的成员——阿星称他们为“双重间谍”！当我们想数一数两个团一共有多少人时，如果简单地把两个团的人数加起来，这些“双重间谍”就被我们数了两次。所以，为了得到真实的总人数，我们必须把多数的这一次减掉。核心公式就是：总人数 = A团人数 + B团人数 - 双重间谍人数。
• 避坑口诀：两集合，先相加，间谍要减一个它。想求只A，减重叠，思路清晰不抓瞎。

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：把“喜欢唱歌的10人”直接当成“只喜欢唱歌的人”。这10人里其实包含了“双重间谍”！→ ✅ 正解：“喜欢唱歌的”是一个大圈子，里面包括“只喜欢唱歌的”和“双重间谍”。要求“只喜欢唱歌的”，必须用“喜欢唱歌的总人数”减去“双重间谍人数”，即 \(10 - 3 = 7\) 人。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：题目给出一个画好的韦恩图，但只标注了圆圈外的总人数和一部分区域的人数，学生容易直接用总人数去加或减标注的部分，而忽略了其他区域。→ ✅ 正解：牢记韦恩图的每一块都有其意义（只A、只B、重叠、总数）。解题时，最好先在图上把已知数标在对应的区域里，而不是标在圆圈旁边，这样逻辑关系一目了然。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：已知总人数和A、B各自的人数，求“双重间谍”人数时，用公式“重叠= A + B - 总人数”算出结果后，忘记检查这个数是否合理（比如是否大于A或B的人数，或者得负数）。→ ✅ 正解：算出重叠人数后，一定要反向代入验证。例如，算出重叠是5，那么只A = A - 5，只B = B - 5，然后检查 (只A) + (只B) + 5 是否等于总人数。

🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 三（2）班有 \(42\) 人，参加足球队的有 \(18\) 人，参加篮球队的有 \(15\) 人，两项都参加的有 \(5\) 人。那么只参加篮球队的有 \(10\) 人。 ( )
2. 两堆水果，苹果有 \(12\) 个，梨有 \(9\) 个，既是苹果又是梨（假设有这种水果）的有 \(3\) 个，那么水果总数是 \(12 + 9 - 3 = 18\) 个。 ( )
3. 已知喜欢《熊出没》和《喜羊羊》的小朋友一共有 \(35\) 人，只喜欢《熊出没》的有 \(19\) 人，只喜欢《喜羊羊》的有 \(13\) 人，那么两部动画片都喜欢的有 \(35 - 19 - 13 = 3\) 人。 ( )
4. 一个小组，会游泳的有 \(10\) 人，会骑车的有 \(12\) 人，两项都会的有 \(7\) 人。这个小组的总人数就是 \(10 + 12 = 22\) 人。 ( )
5. 教室里有学生 \(30\) 人，今天带了铅笔的有 \(25\) 人，带了橡皮的有 \(20\) 人，两样都带的有 \(15\) 人。那么两样都没带的有 \(30 - (25+20-15) = 0\) 人。 ( )

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 学校乐器队，会拉小提琴的有 \(22\) 人，会弹钢琴的有 \(18\) 人，两种乐器都会的有 \(6\) 人。乐器队至少会一种乐器的同学共有 ( ) 人。
2. 一次测试，数学得优的有 \(28\) 人，语文得优的有 \(25\) 人，两科都得优的有 \(10\) 人。那么只有一科得优的同学共有 ( ) 人。
3. 三年级某班，去过北京的有 \(16\) 人，去过上海的有 \(14\) 人，两个城市都去过的有 \(5\) 人，两个城市都没去过的有 \(10\) 人。这个班一共有 ( ) 人。
4. 把两块一样长的木板钉在一起，重叠部分的长度是 \(15\) 厘米。如果现在钉成的总长度是 \(175\) 厘米，那么原来每一块木板的长度是 ( ) 厘米。（提示：木板重叠问题也是“集合”）
5. 三（1）班所有学生都参加了植树或浇树活动。参加植树的有 \(24\) 人，参加浇树的有 \(19\) 人，两项都参加的人数比只参加一项活动的总人数少 \(13\) 人。两项都参加的有 ( ) 人。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ❌ 错。 只参加篮球队的人数 = 篮球队总人数 \(15\) - 双重间谍 \(5\) = \(10\) 人。但题目说“只参加篮球队的有 \(10\) 人”，这个判断本身是对的。等等，再读题！题目条件是“两项都参加的有 \(5\) 人”，计算 \(15 - 5 = 10\)，判断说“那么只参加篮球队的有 \(10\) 人”，这是正确的。所以本题应为✅ 对。这是一个审题陷阱，考验你是否能准确计算“只B”。
2. ✅ 对。 这就是最基础的间谍原理应用：总数 = \(12 + 9 - 3 = 18\)。
3. ✅ 对。 “一共有 \(35\) 人”指的是全集（只A+只B+重叠）。所以重叠 = \(35 - 19 - 13 = 3\)。
4. ❌ 错。 直接相加 \(10+12\) 把两项都会的 \(7\) 人数了两次。正确总人数应为 \(10 + 12 - 7 = 15\) 人。
5. ✅ 对。 两样都没带的人数 = 全班人数 \(30\) - 至少带一样的人数。至少带一样的人数 = \(25 + 20 - 15 = 30\)。所以两样都没带的 = \(30 - 30 = 0\)。计算和逻辑都正确。

第二关：防坑演练

1. 答案： \(34\)。解析：“至少会一种”就是圆圈内的总人数。\(22 + 18 - 6 = 34\) (人)。
2. 答案： \(33\)。解析：“只有一科得优” = (数学单优) + (语文单优)。数学单优 = \(28 - 10 = 18\)，语文单优 = \(25 - 10 = 15\)。所以只有一科得优的共 \(18 + 15 = 33\) 人。也可以直接用总得优人次减重叠人次：\((28+25) - 10 \times 2 = 53 - 20 = 33\)。
3. 答案： \(35\)。解析：至少去过一个城市的人数 = \(16 + 14 - 5 = 25\) 人。全班总人数 = \(25 + 10 = 35\) 人。
4. 答案： \(95\)。解析：把木板想象成两个集合，重叠 \(15\) 厘米。钉成的总长 \(175\) 厘米相当于“全集”的长度。根据公式：总长 = 板A + 板B - 重叠。因为两块板一样长，设每块长 \(x\) 厘米。那么 \(x + x - 15 = 175\)，即 \(2x = 190\)，所以 \(x = 95\)。
5. 答案： \(10\)。解析：设两项都参加的有 \(x\) 人。则只植树的有 \(24 - x\) 人，只浇树的有 \(19 - x\) 人。“只参加一项活动的总人数” = \((24 - x) + (19 - x) = 43 - 2x\)。根据题意“两项都参加的比只参加一项的少 \(13\) 人”：\(x = (43 - 2x) - 13\)。解方程：\(x = 30 - 2x\)， \(3x = 30\)， 所以 \(x = 10\)。