初二数学期末急救：积的乘方（系数）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲
适用年级
初二
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⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-22
💡 阿星精讲：积的乘方（系数） 的核心避坑原理
- 概念重塑：还记得阿星的“雨露均沾”吗？计算 \( (ab)^n \) 时，括号里的每一个“因子”都是平等的！无论是数字系数、字母，还是它们自带的指数，都要“沾”到外面的 \( n \) 次方。最常见的偏心行为就是：只把字母乘方，却把系数（尤其是负系数）给忘了！就像阿星举的例子：看到 \( (-2xy^3)^3 \)，千万不能只想 \( (y^3)^3 = y^9 \)，一定要把“-2”和“x”也立方！正确步骤是：\( (-2)^3 \cdot (x)^3 \cdot (y^3)^3 = -8x^3y^9 \)。记住，乘方是“团购”，不是“单点”！
- 避坑口诀：积的乘方很重要，每个因子都跑到。系数字母和指数，一个都不能忘掉！先定符号再计算，指数相乘要记牢。
⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”
- ❌ 陷阱一（概念混淆型）：“系数不参与乘方”。错误认为乘方只作用于字母部分，导致 \( (-3a^2)^2 \) 算成 \( -3a^4 \) 或 \( 3a^4 \)。 → ✅ 正解：系数是积的一部分，必须一同乘方。\( (-3a^2)^2 = (-3)^2 \cdot (a^2)^2 = 9a^4 \)。
- ❌ 陷阱二（视觉误导型）：“被系数前的负号迷惑”。将 \( - (2x)^3 \) 与 \( (-2x)^3 \) 混淆。前者负号在括号外，是“结果的相反数”；后者负号在括号内，是“参与乘方的因子”。 → ✅ 正解：\( - (2x)^3 = - (8x^3) = -8x^3 \)，而 \( (-2x)^3 = (-2)^3 x^3 = -8x^3 \)。虽然此例结果巧合相同，但概念截然不同！
- ❌ 陷阱三（计算粗心型）：“系数乘方时，符号和数值算错”。计算 \( (-2)^3 \) 时得 \( -6 \)（错误：-2×3），或计算 \( (-\frac{1}{2})^2 \) 时得 \( -\frac{1}{4} \)（忘了负数的偶次方为正）。 → ✅ 正解：\( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \)；\( (-\frac{1}{2})^2 = (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \)。
🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）
【易错题1：概念陷阱】 计算：\( - (2a^2 b)^3 \cdot (-\frac{1}{2} ab^3)^2 \)
💀 错误率：85%
❌ 常见错误：
- 错误1（负号陷阱）：\( - (2a^2 b)^3 = -2a^6 b^3 \)（系数未立方）。
- 错误2（整体遗漏）：忽略第一个括号外的负号，算成 \( (2a^2 b)^3 \cdot ... \)。
- 错误3（分数平方）：\( (-\frac{1}{2} ab^3)^2 = -\frac{1}{4} a^2 b^6 \)（负号未平方掉）。
✅ 阿星解析：“雨露均沾”要贯彻到底，且要分清括号内外的负号！
- 第一步：分别计算两个积的乘方。
\( - (2a^2 b)^3 = - [ (2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b)^3 ] = - (8 a^6 b^3) = -8 a^6 b^3 \)
\( (-\frac{1}{2} ab^3)^2 = (-\frac{1}{2})^2 \cdot (a)^2 \cdot (b^3)^2 = \frac{1}{4} a^2 b^6 \) - 第二步：将两部分相乘。
\( (-8 a^6 b^3) \cdot (\frac{1}{4} a^2 b^6) = (-8 \times \frac{1}{4}) \cdot (a^6 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^6) \) - 第三步：同底数幂相乘，指数相加。
\( = -2 \cdot a^{8} \cdot b^{9} = -2 a^8 b^9 \)
【易错题2：思维陷阱】 已知一个正方体的棱长为 \( 3 \times 10^2 \) cm，求它的体积（用科学记数法表示）。
💀 错误率：90%
❌ 常见错误：
- 错误1：\( V = (3 \times 10^2)^3 = 3 \times 10^6 \)（系数3没有立方）。
- 错误2：\( V = (3 \times 10^2)^3 = 27 \times 10^6 \)，未化为规范的科学记数法（\( a \times 10^n \)，其中 \( 1 \leq |a| < 10 \)）。
✅ 阿星解析：这是一道“雨露均沾”的应用题！棱长是一个“积” \( 3 \times 10^2 \)，求体积就是对这个“积”进行立方运算。
- 第一步：正确应用积的乘方法则。
体积公式 \( V = a^3 \)，所以 \( V = (3 \times 10^2)^3 \)。
这里的“积”有两个因子：系数 \( 3 \) 和幂 \( 10^2 \)。
\( V = 3^3 \times (10^2)^3 \) （每一个因子都要立方！） - 第二步：分别计算。
\( 3^3 = 27 \)， \( (10^2)^3 = 10^{2 \times 3} = 10^6 \)。
所以 \( V = 27 \times 10^6 \) cm³。 - 第三步：化为规范的科学记数法。
\( 27 \times 10^6 = 2.7 \times 10 \times 10^6 = 2.7 \times 10^{7} \) cm³。
看，忘了给系数“3”立方，结果就差了9倍！
【易错题3：大题陷阱】 如图，一大一小两个正方形组成组合图形。大正方形边长为 \( 2a \)，小正方形边长为 \( b \)。
- 用含 \( a, b \) 的式子表示阴影部分的面积 \( S \)。
- 若 \( a = 10^2 \)，\( b = 3 \times 10 \)，求 \( S \) 的值（用科学记数法表示）。
💀 错误率：95%
❌ 常见错误：
- 第(1)问：错误表示面积，如 \( S = (2a)^2 + b^2 \)（加了小正方形面积，而非阴影）。
- 第(2)问：代入时，\( (2a)^2 \) 只算成 \( 4a \) 或 \( 2a^2 \)；计算 \( (2 \times 10^2)^2 \) 时，漏乘系数2的平方；最后结果未按科学记数法规范书写。
✅ 阿星解析：
- 求面积表达式：
阴影面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积。
大正方形边长 \( 2a \)，面积 \( (2a)^2 \)。
小正方形边长 \( b \)，面积 \( b^2 \)。
⚠️注意： \( (2a)^2 \) 是一个积的乘方！\( 2 \) 和 \( a \) 都要平方。
所以 \( S = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2 \)。 (图中红色虚线标出了阴影部分的一边如何由 \( 2a - b \) 得来，验证了面积的正确性：S = b*(2a-b) + (2a-b)*2a，化简后同样是 \( 4a^2 - b^2 \)。) - 代入求值：
已知 \( a = 10^2 = 100 \)， \( b = 3 \times 10 = 30 \)。
方法一（直接代入）：
\( S = 4 \times (10^2)^2 - (3 \times 10)^2 \)
这里有两个“积的乘方”陷阱！
计算 \( (10^2)^2 = 10^{4} = 10000 \)， 所以 \( 4 \times 10000 = 40000 \)。
计算 \( (3 \times 10)^2 = 3^2 \times 10^2 = 9 \times 100 = 900 \)。
所以 \( S = 40000 - 900 = 39100 = 3.91 \times 10^4 \)。方法二（先化简，后代科学记数法值）：
\( S = 4a^2 - b^2 = 4 \times (10^2)^2 - (3 \times 10)^2 \)
\( = 4 \times 10^4 - 9 \times 10^2 \)
\( = 40000 - 900 = 39100 = 3.91 \times 10^4 \)。
无论哪种方法，核心都在于正确处理 \( (3 \times 10)^2 \) 和 \( (10^2)^2 \) 这样的“积的乘方”。
🚀 易错专项训练（你能全对吗？）
第一关：火眼金睛（判断对错 5题）
- \( (3ab^2)^2 = 6a^2b^4 \) （判断对错）
- \( (-x^3y)^3 = -x^9y^3 \) （判断对错）
- \( - (2m)^2 = 4m^2 \) （判断对错）
- \( (\frac{2}{3}xy)^3 = \frac{8}{27}x^3y^3 \) （判断对错）
- \( (0.5 \times 10^3)^2 = 0.25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^5 \) （判断对错）
第二关：防坑演练（填空 5题）
- \( (-2a^2)^3 = \underline{\hspace{2cm}} \)
- \( - (3xy^4)^2 = \underline{\hspace{2cm}} \)
- \( (-\frac{1}{3} m^2 n)^2 \cdot (-3mn^2)^3 = \underline{\hspace{2cm}} \)
- 一个长方体的长、宽、高分别为 \( 2 \times 10^1 \) cm, \( 4 \) cm, \( 5 \times 10^{-1} \) cm，则它的体积是 \underline{\hspace{2cm}} cm³（用科学记数法表示）。
- 若 \( (2^m \cdot a^n)^3 = 8 a^{12} \)，则 \( m = \underline{\hspace{1cm}} \), \( n = \underline{\hspace{1cm}} \)。
答案与详细解析
第一关：火眼金睛
- 错。 解析：\( (3ab^2)^2 = 3^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 9a^2b^4 \)。错在系数未平方。
- 对。 解析：\( (-x^3y)^3 = (-1)^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y)^3 = -1 \cdot x^9 \cdot y^3 = -x^9y^3 \)。注意这里把“-x³”看作\( (-1) \cdot x^3 \)，两个因子都立方了。
- 错。 解析：\( - (2m)^2 = - (4m^2) = -4m^2 \)。负号在括号外，不参与平方运算。
- 对。 解析：\( (\frac{2}{3}xy)^3 = (\frac{2}{3})^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = \frac{8}{27}x^3y^3 \)。分数系数也要乘方。
- 对。 解析：\( (0.5 \times 10^3)^2 = 0.5^2 \times (10^3)^2 = 0.25 \times 10^6 \)。规范化为 \( 2.5 \times 10^{-1} \times 10^6 = 2.5 \times 10^{5} \)。每一步都正确。
第二关：防坑演练
- \( -8a^6 \)。 解析：\( (-2a^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 = -8 \cdot a^{6} \)。
- \( -9x^2y^8 \)。 解析：\( - (3xy^4)^2 = - [ 3^2 \cdot x^2 \cdot (y^4)^2 ] = - (9x^2y^8) = -9x^2y^8 \)。
- \( -3m^7n^8 \)。 解析：
第一步：\( (-\frac{1}{3} m^2 n)^2 = (-\frac{1}{3})^2 \cdot (m^2)^2 \cdot (n)^2 = \frac{1}{9} m^4 n^2 \)。
第二步：\( (-3mn^2)^3 = (-3)^3 \cdot (m)^3 \cdot (n^2)^3 = -27 m^3 n^6 \)。
第三步：相乘 \( (\frac{1}{9} m^4 n^2) \cdot (-27 m^3 n^6) = (\frac{1}{9} \times (-27)) \cdot (m^4 \cdot m^3) \cdot (n^2 \cdot n^6) = -3 m^7 n^8 \)。 - \( 4 \times 10^1 \) 或 \( 4.0 \times 10^1 \)。 解析：
体积 \( V = (2 \times 10^1) \times 4 \times (5 \times 10^{-1}) \)。
数字部分：\( 2 \times 4 \times 5 = 40 \)。
10的幂部分：\( 10^1 \times 10^{-1} = 10^{0} = 1 \)。
所以 \( V = 40 \) cm³ \( = 4.0 \times 10^1 \) cm³。
⚠️注意：本题虽不是直接的积的乘方，但考察了科学记数法表示的数的运算，是常见的关联陷阱。 - \( m = 1 \)， \( n = 4 \)。 解析：
左边：\( (2^m \cdot a^n)^3 = (2^m)^3 \cdot (a^n)^3 = 2^{3m} \cdot a^{3n} \)。
右边：\( 8 a^{12} = 2^3 \cdot a^{12} \)。
所以 \( 2^{3m} = 2^3 \)， 得 \( 3m = 3 \)， \( m=1 \)。
\( a^{3n} = a^{12} \)， 得 \( 3n = 12 \)， \( n=4 \)。
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