看穿保险“魔术”：如何用数学期望拆解定价逻辑？| 阿星精讲：典型例题精讲

💡 阿星精讲：保险定价逻辑 的本质

想象一下，保险公司就像一位“风险魔术师”。它最擅长的魔术，就是“利用极低概率事件进行杠杆营销”。它向你展示一个可怕的、但发生概率 \(p\) 极低的事件（比如飞机失事），并承诺一旦发生，将赔付一笔巨款 \(L\)。这笔巨款相对于你付出的微小保费 \(P\)，形成了一个巨大的杠杆，极具吸引力。但魔术的背后，是冰冷的数学。精算师的核心工作，就是解析这种“长尾风险”的数学期望 \(E\)。他们计算出单张保单的期望赔付成本 \(E = p \times L\)，然后在此基础上加上运营成本、风险附加和利润，就得到了保费 \(P\)。看穿这个逻辑，你就看懂了所有保险产品定价的底牌：保费是基于“大数定律”对群体风险期望值的平滑分摊，而绝非对个体风险的赌博。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： 期望赔付成本 \(E = 1\) 元。解析见上文阿星拆解。

变式一：
期望成本 \(E = p \times L = 0.0008 \times 500000 = 400\) 元。
保费 \(P = 800\) 元，是期望成本 \(E\) 的 \(800 / 400 = 2\) 倍。

变式二：
设预估概率为 \(p\)。期望赔付成本 \(E = p \times 3000\)。
保费 \(P = E + 运营利润附加\)，即 \(299 = E + 299 \times 0.6\)。
解得 \(E = 299 \times (1 - 0.6) = 119.6\) 元。
因此 \(p = E / L = 119.6 / 3000 \approx 0.03987\)，即约 \(3.99\%\)。

变式三：
首先计算在不同医疗费用下，保险公司的实际赔付额 \(Y\)：
当 \(X=0\) 或 \(X=300\) 时，费用未超过免赔额 \(D=500\)， \(Y=0\)。
当 \(X=5000\) 时，赔付 \(Y = 5000 - 500 = 4500\) 元。
当 \(X=200000\) 时，赔付 \(Y = \min(200000 - 500, 1000000) = 199500\) 元（未超上限）。
则期望赔付成本 \(E\) 为：
\(E = 0.7 \times 0 + 0.2 \times 0 + 0.09 \times 4500 + 0.01 \times 199500\)
\(E = 0 + 0 + 405 + 1995 = 2400\) 元。
关键洞察： 尽管有高额免赔额过滤了小额理赔，但极低概率（\(1\%\)）的高额医疗费用（\(20\) 万元）极大地拉高了期望成本，这正是“长尾风险”的典型体现。