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3步口诀+3级挑战:不等式解集从“懵”到“懂”全攻略!零基础必看:典型例题精讲

适用年级

一年级

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

不等式解集通关指南:从“什么能行”到“一目了然”

💡 阿星起步:不等式解集 的底层逻辑

想象一下,你去电影院看电影,门口立着个牌子:「身高超过1.2米需购票」。这句话就在划定一个「边界」:1.2米。如果你刚好1.2米,要不要买票?,因为牌子说“超过或等于”1.2米。这个“等于”,就是边界上的事。

「不等式解集」要干的就是这个事:帮你把生活中所有“什么能行,什么不行”的条件,画成一张一眼就能看懂的地图。它的核心就是处理“边界问题”。

我们用数轴当这张“地图”。关键就三句话:

1. 有等号画实心:就像电影院规定包含1.2米一样,如果不等式是 \( \ge \)(大于等于)或 \( \le \)(小于等于),边界点(如 \( 1.2 \) )包含在“可行”范围内,用实心点●表示。

2. 没等号画空心:如果规定是“超过1.2米需购票”,那1.2米整就不用买。这时边界点(\( 1.2 \) )不包含在“可行”范围内,用空心圈○表示。

3. 方向向右是大,向左是小:在数轴上,向右(→)表示比边界点的数;向左(←)表示比边界点的数。

所以,解不等式,就是找到边界点,判断要不要它,然后指明方向。就这么简单!

🔥 三级跳挑战:从入门到大神

【入门例题】请在数轴上表示出不等式 \( x > 2 \) 的解集。

🌱

阿星拆解:

第1步:找边界。 不等式是 \( x > 2 \),边界点就是 \( 2 \)。

第2步:定“实心”还是“空心”。 看符号是 \( > \)(大于),没有等号。根据口诀“没等号画空心”,所以边界点 \( 2 \) 不包含在内,画一个空心圈 ○ 在数轴上 \( 2 \) 的位置。

第3步:定方向。 符号是 \( > \)(大于),意思是 \( x \) 要比 \( 2 \) 。根据口诀“方向向右是大”,所以从空心圈 \( 2 \) 开始,向画一条射线。✅

最终地图(解集): 所有在 \( 2 \) 右边的数(但不包括 \( 2 \) 自己)都满足条件。

【进阶例题】解不等式 \( -3x \le 6 \),并在数轴上表示解集。

⚠️

阿星敲黑板:

陷阱警报! 这个不等式里有 \( -3x \),当我们为了把 \( x \) 单独解出来,需要两边同时除以负数(-3)。这是最大的坑!不等式两边乘或除以同一个负数时,不等号的方向必须改变!

第1步:解出边界点。 \( -3x \le 6 \)
两边同时除以 \( -3 \)(一个负数):
\( x \ge 6 \div (-3) \) 【注意!除以负数,不等号从 \( \le \) 翻转为 \( \ge \) 】
\( x \ge -2 \)

第2步:找边界。 解出来是 \( x \ge -2 \),边界点是 \( -2 \)。

第3步:定“实心”还是“空心”。 符号是 \( \ge \)(大于等于),有等号。根据口诀“有等号画实心”,所以边界点 \( -2 \) 包含在内,画一个实心点 ● 在数轴上 \( -2 \) 的位置。

第4步:定方向。 符号是 \( \ge \)(大于等于),意思是 \( x \) 要比 \( -2 \) 或等于它。根据口诀“方向向右是大”,所以从实心点 \( -2 \) 开始,向画一条射线。✅

避坑总结: 遇到 \( x \) 前面有负系数,除过去时一定要记得把不等号“翻个跟头”! \( < \) 和 \( > \) 互换,\( \le \) 和 \( \ge \) 互换。

【拔高例题】写出下面数轴所表示的不等式解集。

(数轴图示:在 \( 0 \) 的位置有一个实心点,并向画有射线。)

🚀

思维迁移:

虽然题目没直接给不等式,而是给了“地图”(数轴),但我们的口诀反过来用一样好使

第1步:从图上找边界。 射线起始点在 \( 0 \) 的位置,所以边界点是 \( 0 \)。

第2步:从图上判断“实心/空心”。 点是实心的 ●。口诀“有等号画实心”,所以这个不等式一定包含等号(\( \ge \) 或 \( \le \))。

第3步:从图上判断方向。 射线指向方。口诀“方向向左是小”,所以这个不等式表示的是比 \( 0 \) (或等于)的数。

第4步:组装成不等式。 比 \( 0 \) 小或等于 \( 0 \),符号用 \( \le \)。所以解集是 \( x \le 0 \)。

迁移心得: 解不等式(从式子画图)和列不等式(从图形写式子)是一套逻辑的正反两面。牢牢抓住“边界点、实心/空心、方向”这三个要素,就能来去自如!

📝 阿星必背口诀:

边界要看准,实心与空心。
方向定大小,数轴见分晓。

🚀 举一反三:变式挑战

变式一:模仿练习

在数轴上表示不等式 \( x + 1 \ge 3 \) 的解集。

变式二:逆向思维

数轴上,在 \( -1 \) 处有一个空心圈,并向画有射线。它表示哪个不等式的解集?

变式三:综合挑战

解不等式 \( 4 - 2x > 0 \),并在数轴上表示解集。(提示:注意x的系数)


解析与答案

【详尽解析】

变式一:
1. 解不等式:\( x + 1 \ge 3 \) → 两边减1得 \( x \ge 2 \)。
2. 边界点:\( 2 \)。有等号,画实心点
3. 方向:\( \ge \) 表示“大”,向画射线。
答案: 在数轴 \( 2 \) 处画实心点●,并向右画射线。

变式二:
1. 边界点:\( -1 \)。
2. 空心圈○ → “没等号”( \( > \) 或 \( < \) )。
3. 方向向右 → 表示“大”( \( > \) )。
答案: \( x > -1 \)。

变式三:
1. 解不等式:\( 4 - 2x > 0 \) → 先把 \( -2x \) 当整体:\( -2x > -4 \)。
2. 关键步骤:两边除以 \( -2 \)(负数),不等号翻转:\( x < 2 \)。
3. 边界点:\( 2 \)。没等号,画空心圈○。
4. 方向:\( < \) 表示“小”,向画射线。
答案: \( x < 2 \);在数轴 \( 2 \) 处画空心圈○,并向左画射线。

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