阿星拆解：

第一步：选定主角，用整除锁定范围。
我们选系数较大的 \(y\) 当主角。把方程变形成： \(3x = 26 - 5y\)。这意味着 \(26-5y\) 必须是一个正数（因为 \(3x>0\)），并且必须是3的倍数（能被3整除）。

第二步：枚举“可能”的 y。
因为 \(26-5y > 0\)，所以 \(5y < 26\)， \(y < 5.2\)。同时 y 是自然数，所以 y 可能是 1, 2, 3, 4, 5。
我们代入检查谁能让 \(26-5y\) 被3整除：

• 当 \(y=1\)， \(26-5×1=21\)， \(21÷3=7\) ✔，整除！
• 当 \(y=2\)， \(26-5×2=16\)， \(16÷3=5...1\) ✘，不整除。
• 当 \(y=3\)， \(26-5×3=11\)， \(11÷3=3...2\) ✘，不整除。
• 当 \(y=4\)， \(26-5×4=6\)， \(6÷3=2\) ✔，整除！
• 当 \(y=5\)， \(26-5×5=1\)， \(1÷3=0...1\) ✘，不整除。

第三步：求出对应的 x，写出解。
对于通过的 y 值，计算 \(x = (26-5y) ÷ 3\)。

• 当 \(y=1\)， \(x=21÷3=7\)，得到解 \((x, y) = (7, 1)\)。
• 当 \(y=4\)， \(x=6÷3=2\)，得到解 \((x, y) = (2, 4)\)。

所以，这个不定方程的自然数解有两组：\((7, 1)\) 和 \((2, 4)\)。我们成功用“整除”筛掉了大量无效的枚举！

阿星敲黑板：

陷阱提示：这里的“29元”是“元”，而“5元”和“2元”也是“元”，单位统一，看起来没问题。但真正的陷阱是：很多人会列错方程！ 题目有两个条件：总张数和总金额。我们必须用两个未知数，但最终会归结为一个不定方程。

第一步：正确设未知数列方程。
设5元纸币有 \(a\) 张，2元纸币有 \(b\) 张。
根据总张数：\(a + b = 10\) ...①
根据总金额：\(5a + 2b = 29\) ...②

第二步：化两元为一元，得到不定方程。
由①得 \(b = 10 - a\)，代入②：
\(5a + 2(10 - a) = 29\)
\(5a + 20 - 2a = 29\)
\(3a + 20 = 29\)
\(3a = 9\)
\(a = 3\)

哎？这怎么直接解出来了？这不是不定方程啊！这是因为“总张数10”这个条件非常强，直接把“不定”变成了“确定”。

第三步：求出另一个量，并检验合理性。
将 \(a=3\) 代入 \(b=10-a\)，得 \(b=7\)。
检验金额：\(5×3+2×7=15+14=29\)，完美符合。
所以，5元纸币有3张，2元纸币有7张。

避坑总结：不是所有像“两种东西混合”的问题都是不定方程。当题目给出两个独立的等量关系（如张数和、金额和）时，通常能直接解出唯一答案。只有当信息不足（通常只有一个核心等量关系）时，才会出现“多解”的不定方程情况。

思维迁移：

场景复杂了（三种鸡），但内核没变！还是“枚举与整除”。

第一步：设未知数，列方程。
设公鸡 \(g\) 只，母鸡 \(m\) 只，小鸡 \(c\) 只。
根据总只数：\(g + m + c = 100\) ...①
根据总价钱：\(5g + 3m + \frac{c}{3} = 100\) ...②（注意小鸡是1钱3只，所以c只小鸡价值c/3钱）

第二步：消元，化为二元一次不定方程。
为了去掉分数，②式两边乘以3：\(15g + 9m + c = 300\) ...③
用③减去①，消去c：\((15g+9m+c) - (g+m+c) = 300-100\)
得到：\(14g + 8m = 200\)
化简，两边除以2：\(7g + 4m = 100\) ...④
看！现在我们得到了一个关于 \(g\) 和 \(m\) 的不定方程，原型出现！

第三步：利用整除特征缩小范围。
从④式解出 \(m = (100 - 7g) / 4\)。因为 \(m\) 是整数，所以 \((100-7g)\) 必须能被4整除。
同时，\(g, m, c\) 都是非负整数。由于 \(7g \leq 100\)，所以 \(g \leq 14\)。我们枚举 \(g=0,1,2,...,14\)，检查谁能让 \((100-7g)\) 被4整除。

第四步：枚举求解。
\(100-7g\) 能被4整除，等价于 \(100\) 和 \(7g\) 除以4的余数相同。100除以4余0，所以 \(7g\) 除以4也要余0。因为7除以4余3，所以就是 \(3g\) 除以4余0，即 \(g\) 必须是4的倍数。
在 \(0 \le g \le 14\) 范围内，\(g\) 可能为：0， 4， 8， 12。
分别计算：

• \(g=0\)， 则 \(m=(100-0)/4=25\)， 由①得 \(c=100-0-25=75\)。
• \(g=4\)， 则 \(m=(100-28)/4=18\)， \(c=100-4-18=78\)。
• \(g=8\)， 则 \(m=(100-56)/4=11\)， \(c=100-8-11=81\)。
• \(g=12\)，则 \(m=(100-84)/4=4\)， \(c=100-12-4=84\)。

所以有四组解：(0，25，75)， (4，18，78)， (8，11，81)， (12，4，84)。