蝴蝶模型详解：快速求四边形面积的神奇方法：典型例题精讲
适用年级
几何
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象你有一块四边形的蛋糕（比如一块不规则的巧克力蛋糕）。如何公平地知道其中一小块的重量呢？聪明的阿星会说：“把它切成蝴蝶形状，翅膀的重量是成比例的！”
在四边形里，我们画上两条对角线，它们交叉把蛋糕分成了4块。这四块就像一只蝴蝶的四个翅膀（左上、左下、右上、右下）。蝴蝶模型的核心秘密就是：相对的两对翅膀（左上和右下，左下和右上），它们的面积是“互相牵制”的。
👀 看图说话：
关键点拨：
看图，我们把四边形ABCD分成了四块：S₁（左上）、S₂（右上）、S₃（右下）、S₄（左下）。蝴蝶模型的“定海神针”公式是：
S₁ × S₃ = S₂ × S₄
或者，写成比例形式更直观：左上(S₁) : 右上(S₂) = 左下(S₄) : 右下(S₃)。这意味着，知道了其中任意三块的面积，第四块一定能求出来！ 这个比例关系的本质是“等高三角形面积比等于底边之比”，图中三角形ADO与ABO等高，它们的面积比S₁:S₂就等于底边DO:BO；同样，三角形CDO与CBO的面积比S₄:S₃也等于DO:BO，所以两个比例相等。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】如图，在四边形ABCD中，对角线交于O点。已知三角形AOD面积是4，三角形AOB面积是6，三角形BOC面积是9。求三角形DOC的面积。
阿星的显微镜
这就是最标准的“知三求一”。套用蝴蝶翅膀公式：左上(S₁) × 右下(S₃) = 右上(S₂) × 左下(S₄)。
标准算式：设三角形DOC面积为S₄。
\[ S_1 \times S_3 = S_2 \times S_4 \]
\[ 4 \times 9 = 6 \times S_4 \]
\[ S_4 = (4 \times 9) \div 6 = 6 \]
答：三角形DOC的面积是6。
【易错陷阱】把数据变一下：已知S₁=4， S₂=6， S₄=3， 求S₃。很多同学会不假思索地写：4×S₃=6×3，所以S₃=4.5。但这样对吗？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：直接代入公式 4 × S₃ = 6 × 3， 得出 S₃ = 4.5。
图解陷阱：仔细看图！公式是S₁ × S₃ = S₂ × S₄。这里的S₁和S₃必须是对角线位置（左上和右下），S₂和S₄是另一组对角线（右上和左下）。如果已知的是S₁, S₂, S₄，那么S₄对应的是左下，而公式里需要和S₂相乘的正是这个左下面积S₄。所以计算完全正确，S₃=4.5。
等等，这不是陷阱？这恰恰是思维陷阱！你刚刚是不是怀疑了自己？最常见的错误其实是“记错对应关系”，比如写成 S₁ : S₂ = S₃ : S₄。只要严格对照“左上对右下，右上对左下”，就不会错。
【高手进阶】如图，一个长方形花园被两条小路（对角线）穿过，分成了4个三角形花圃。已知左上角郁金香花圃面积是20㎡，右上角玫瑰园是30㎡，右下角向日葵园是45㎡。请问左下角的薰衣草花圃有多大？
思维迁移：这本质上就是隐藏的蝴蝶模型！两条对角线将长方形分成了四个三角形，完全符合蝴蝶结构的条件。直接应用：左上(20) × 右下(45) = 右上(30) × 左下(?)。
正确思路：设薰衣草花圃面积为S。
\[ 20 \times 45 = 30 \times S \]
\[ S = (20 \times 45) \div 30 = 30 \]
答：薰衣草花圃面积是30㎡。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
蝴蝶展翅，对角连线；
翅膀面积，交叉相联；
知三求一，比例不变。
🚀 举一反三：巩固练习
（基础复现）四边形中对角线分出的四个三角形，已知S₁=5， S₂=10， S₃=8， 求S₄。
（陷阱识别）判断：如果S₁=2， S₂=4， S₄=8， 那么根据蝴蝶模型，S₃一定等于1。对吗？为什么？
（生活应用）一块菱形风筝布被两条竹条（对角线）固定，分成的四个三角形区域中，三个区域的面积分别是12、18、27平方分米。第四个区域的面积可能是多少？（提示：有两种情况）
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一： S₄ = 4。解析：5 × 8 = 10 × S₄ → S₄ = 4。
- 练习二： 对。解析：根据S₁ × S₃ = S₂ × S₄， 代入得 2 × S₃ = 4 × 8 = 32， 所以S₃ = 16。题目说S₃=1是错的，应该是16。此题考察公式的准确记忆和代入。
- 练习三： 可能是18或8。解析：情况1：已知面积是左上、右上、右下 (12, 18, 27)，则左下 = (12×27) ÷ 18 = 18。情况2：已知面积是左上、右上、左下 (12, 18, 27)，则右下 = (18×27) ÷ 12 = 40.5。但选项常为整数，且菱形中常隐含对称性，更可能的情况是12和27在对角位置，18和另一个数在对角位置，所以另一个数= (12×27) ÷ 18 = 18。或12和18在对角，则另一个数= (12×18) ÷ 27 = 8。因此答案可能是18或8。
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