合数互质判断题怎么破？用积木模型一看就懂：典型例题精讲
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最近更新
2025-12-20
合数互质？错！用“积木朋友”模型看透数字的秘密
💡 阿星解密：为什么两个合数可能互质？
很多同学一听到“合数”，就觉得它们肯定有除了1以外的共同因数，所以“两个合数一定不互质”。这是一个典型的陷阱！互质的本质，是看两个数“拥有的质因数是否完全不同”，而不是看它们是不是合数。
我们可以把每个合数想象成用乐高积木搭成的数字。这里的“积木”就是质因数。互质就意味着：两个数字用的积木（质因数）完全没有相同的型号。
👀 看图说话：积木朋友模型
关键点拨：
看上面的图，数字8的“积木”全是红色的“2”，数字9的“积木”全是黄色的“3”。它们使用的积木型号完全不同。所以，判断两个数是否互质，不是看它们“是不是合数”，而是要像搭积木一样，拆解到最基础的“质因数积木”，看看有没有相同的型号。如果没有，即使它们各自都由很多积木组成（都是合数），它们也是互质的好朋友。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】判断 15 和 28 是否互质。
阿星的显微镜
我们先拆解它们的“积木”（质因数）：
标准算式： \( 15 = 3 \times 5 \)； \( 28 = 2 \times 2 \times 7 \)
15的积木是{3, 5}，28的积木是{2, 2, 7}。两堆积木里，有相同的型号吗？没有！所以，15和28互质。
【易错陷阱】判断 12 和 18 是否互质。
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错： 一看12和18都是合数，马上联想到“合数不互质”的错误结论，判断为“不互质”。
图解陷阱： 我们来拆积木：\( 12 = 2 \times 2 \times 3 \)；\( 18 = 2 \times 3 \times 3 \)。看！两堆积木里都有“2”和“3”这两种型号。它们有公共的质因数2和3，所以最大公因数大于1。
正确思路： 回到“积木朋友”模型，关键不是看它是不是“积木多的数”（合数），而是看积木型号有没有重叠。12和18有重叠型号，所以它们不互质。
【高手进阶】要把36块水果糖和49块巧克力糖，平均分给一个班的若干小组，要求每小组分到两种糖的数量一样多，且刚好分完。最多可以分给多少个小组？
思维迁移： 这其实就是求36和49的最大公因数！因为每个小组分到的糖数要相同。我们先拆解积木：\( 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)， \( 49 = 7 \times 7 \)**。你会发现，它们的积木型号完全不同（36有2和3，49只有7），也就是说，它们互质！互质的两个数，最大公因数就是1。所以，最多只能分给1个小组（也就是不分组，全班一起分）。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
**合数互质是谜题，质因数分解破玄机。
积木型号若不同，互质关系就成立！**
🚀 举一反三：巩固练习
判断下列哪组数互质：① 9和16；② 20和25。
判断题：两个不同的质数一定互质，两个不同的合数一定不互质。（ ）
用长6cm、宽4cm的长方形地砖铺一个正方形区域（必须用整砖）。这个正方形区域的最小边长是多少厘米？
📚 答案与解析
【答案速查】
- ① 互质，② 不互质。
解析：① 9=3×3，16=2×2×2×2，积木型号不同，互质。② 20=2×2×5，25=5×5，都有型号“5”，不互质。 - 错。
解析：前半句对，两个不同质数无公共质因数，一定互质。后半句错，反例就是8和9，它们都是合数但互质。 - 12厘米。
解析：“铺成正方形”求最小边长，即求6和4的最小公倍数。6=2×3，4=2×2。最小公倍数需包含所有型号积木：2×2×3=12。
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