整理术：哈希桶极速整理法深度攻略

💡 阿星精讲：整理术 的本质

想象你的房间是一个巨大的“数据表”，每次找东西就像执行一次线性查找 \(O(n)\)，需要遍历无数杂物。而哈希桶整理法的核心，是建立物理索引！我们为每类物品定义一个“哈希函数” \(H(item)\)，比如 \(H(书) \rightarrow 书架\)，\(H(袜子) \rightarrow 衣柜第二层\)。每个存储位置就是一个“桶”。只要规则明确，你就能像计算机一样，在常数时间复杂度 \(O(1)\) 内定位任何物品，实现“极速查找”。其数学模型是：将 \(n\) 件物品通过分类函数 \(f(x)\) 映射到 \(m\) 个桶中，使得平均每个桶只有 \(\frac{n}{m}\) 件物品，大幅降低单次查找的复杂度。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题：
1. 平均查找次数：\(7.5\) 次。
2. 最坏情况查找次数：\(120\) 次。
3. 效率提升倍数：\(16\) 倍。

变式一：
1. 每盒明信片数：\( \frac{300}{10} = 30\) 张，平均检查次数：\( \frac{30}{2} = 15\) 次。
2. 最坏情况 \(300\) 次，效率提升倍数：\( \frac{300}{15} = 20\) 倍。

变式二（逆向思维）：
设在单个桶内平均查找 \(4\) 次，则桶内平均物品数 \( \bar{s} = 4 \times 2 = 8\) 件（因为线性查找平均检查一半物品）。
设用了 \(k\) 个桶，则 \( \frac{60}{k} = 8\)，解得 \(k = 7.5\)。桶数必须为整数，且要保证平均查找次数不超过 \(4\) 次，则 \( \frac{60}{k} \leq 8\)，即 \(k \geq 7.5\)。因此至少需要 \(8\) 个桶。

变式三（综合拔高）：
1. 设桶B总书数为 \(B\)。桶B中 \(90\%\) 是科幻书，故科幻书数量为 \(0.9B\)。在桶B中线性查找一本特定科幻书，平均需要检查桶内一半的书，即平均检查次数为 \( \frac{B}{2}\)。
2. 设总书数 \(T = 100\)，科幻书总数为 \(p \times 100 = 100p\)。科幻书分布在两个桶：桶A错放的科幻书 + 桶B正确的科幻书。桶A总书数为 \(100 - B\)，其中错放科幻书为 \(0.05(100-B)\)。桶B正确科幻书为 \(0.9B\)。因此有方程：
\(100p = 0.05(100 - B) + 0.9B\)
化简得：\(100p = 5 - 0.05B + 0.9B = 5 + 0.85B\)
解得：\(B = \frac{100p - 5}{0.85}\)。（此式为桶B总书数用 \(p\) 的表示）