一招搞定格点连线问题！用互质原理判断线段穿点（附动态图解） | 阿星数学课堂：典型例题精讲
适用年级
几何
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最近更新
2025-12-20
📐 格点连线：如何画一条“不穿帮”的直线？
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，阿星在一张方格纸上要从一个格点（比如左下角）走到另一个格点（右上角）。他想画一条笔直的激光通道，但有个奇怪的规则：激光束在到达终点之前，不能穿过或击中纸上任何其他格点，否则会被“中途拦截”！
这个规则的数学本质是什么？就是斜率。如果激光能直接连到终点而不经过中间格点，那么从起点到终点的水平步数和垂直步数必须“互质”——也就是说，它们除了1以外，没有别的公因数。这样，这条直线的斜率才是最简分数，激光束才能畅通无阻地“滑”过去，而不会在半路上被某个格点“卡住”。
👀 看图说话：
关键点拨：
看上面正确的绿色路线。从起点(0,0)到终点(3,1)，水平方向走了3步，垂直方向走了1步。3和1的最大公因数是1，它们互质。这意味着，这条线在到达终点前，不会“踩中”任何中间格点。
而错误的红色路线，从(0,0)到(3,2)，水平走3步，垂直走2步。虽然3和2互质，但红色线直接连到了另一个角，它的总位移是(3,-2)。我们来检查起点(0,0)到终点(3,2)这条线：水平走3步，垂直走2步，3和2互质吗？是的，互质。那么问题出在哪？动画里红线是从(0,2)到(3,0)，它的位移是(3, -2)，绝对值3和2也是互质的。动画红线真正的错误在于：它连接的是起点(0,2)和终点(3,0)吗？不，我们设定的起点是(0,0)，终点是(3,2)。为了让红线成为错误示范，我们应该让它表示一条水平步长和垂直步长不互质的线。更正：假设红线想连接起点(0,0)和(6,4)，那么水平6步，垂直4步，它们的最大公因数是2，不互质。这条线必然会经过中间格点，比如(3,2)。这才是典型错误。让我们修正概念：核心是水平步数和垂直步数要互质。对于起点(0,0)到(m,n)，条件是gcd(m,n)=1。
慢动作回放：要判断一条连接两个格点的线段是否会穿过其他格点，只需看起点和终点的横坐标之差和纵坐标之差是否互质。互质=安全通道；不互质=中途必然有格点挡路。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】方格图是3行4列（3×4，即有4个格点宽，3个格点高）。请问，在这个方格图的一条对角线上（例如从左下角到右上角），有多少条连接两个格点的线段，中间不经过其他格点？
阿星的显微镜
我们先明确问题：网格左下角为(0,0)，右上角为(4,3)。我们要找的是起点(0,0)到终点(4,3)这条线段本身吗？不，我们要找的是以(0,0)为一个端点，以(4,3)为另一个端点，构成的矩形内的所有格点对，它们的连线不经过其他格点。但这太宽泛了。典型“格点连线”问题是：在给定的m×n网格点阵中，有多少条连接两个格点的线段，中间不经过其他格点？通常包括任意两个格点。但这里例子说“一条对角线上”，可能特指从(0,0)到(m,n)的这条对角线上的格点？让我们解读为：在3×4的格点阵（4列3行，共20个格点）中，任选两个格点连线，要求线段上除端点外无其他格点，有多少种连线？计算量太大，不适合作母题。
我们换一个更典型的母题：在5×5的方格棋盘上（即每边有6个格点，共36个格点），左下角坐标(0,0)，右上角坐标(5,5)。从(0,0)出发，画到(5,5)的线段，这条线段上除了端点，还有多少个格点？
标准算式：从(0,0)到(5,5)，水平走了5步，垂直走了5步。5和5的最大公因数gcd(5,5)=5 ≠ 1。所以，这条线段上除了端点，中间还有格点。有几个呢？因为最大公因数是5，所以线段会被中间的格点分成5等份。也就是说，中间会有 5 - 1 = 4 个格点。公式：线段内部格点数 = gcd(水平步数， 垂直步数) - 1。
【易错陷阱】一个长方形棋盘，横向有8个格点，纵向有6个格点（即7×5的方格）。从左上角(0,0)到右下角(7,5)画一条对角线，问这条线上（包括端点）共有多少个格点？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：直接计算线段穿过的方格数，或者误以为格点数等于横纵格点数的最小值。
图解陷阱：错误想法是：横向有8个点，纵向有6个点，那么对角线上就有6个点（取小的那个）。但这是错的，因为这条线可能不会经过每一行和每一列的交点格点。
正确思路：使用“互质原理”。从(0,0)到(7,5)，水平步数 = 7，垂直步数 = 5。gcd(7,5)=1。所以，这条线段上除了端点，没有其他任何格点。因此，线段上的格点只有两个：起点和终点。题目问“包括端点”，所以答案是2个。
【高手进阶】果园里，果树被种成了一个整齐的方阵，每行10棵，每列8棵。园丁阿星想拉一条笔直的浇水管道，连接左下角和右上角的两棵树。为了不碰到其他果树，管道必须直接连接这两棵树，而不能穿过中间任何一棵树的位置。他能成功吗？如果能，这条管道会穿过多少棵树的“正下方”（即树根位置）？
思维迁移：这完全就是“格点连线”问题！把每棵树看作一个格点。左下角树坐标(0,0)，右上角树坐标(9,7)（因为10棵树，列索引0到9；8棵树，行索引0到7）。水平步数=9，垂直步数=7。gcd(9,7)=1。所以，管道能成功直接连接，中间不会碰到任何其他果树。“穿过多少棵树的‘正下方’”这个问题有点歧义，如果理解为线段内部有多少个格点，那么根据公式：gcd(9,7)-1 = 1-1 = 0。所以，不会穿过任何其他树的“正下方”。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
格子连线不穿点，横纵步长互质选。
若要计算穿点数，最大公因减一端。
🚀 举一反三：巩固练习
在4×6的格点阵（5行7列格点）中，从最左下角格点(0,0)到最右上角格点(6,4)的线段上（包括端点），共有多少个格点？
一个12cm×18cm的长方形，每隔1cm画一条平行线，形成格网。从一条对角线的这头到那头，这条对角线经过了多少个网格的交点（格点）？
如图，城市街道是整齐的棋盘状。阿星的家在A点，学校在B点，他只想沿着直线形的天桥（连接A、B）走，但天桥不能建在任何其他十字路口正上方。A、B的位置如图所示（坐标自设，例如A(0,0), B(8,6)），他能建成这样的天桥吗？为什么？
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一：水平步数=6，垂直步数=4。gcd(6,4)=2。线段上格点总数 = gcd + 1 = 2 + 1 = 3? 等一下，公式：线段内部格点数 = gcd(Δx, Δy) - 1。那么线段上总格点数（含端点） = 内部格点数 + 2 = (gcd - 1) + 2 = gcd + 1。所以对于gcd=2，总格点数是3。验证：从(0,0)到(6,4)，中间会经过(3,2)这个格点。所以是起点(0,0)、中间点(3,2)、终点(6,4)，共3个点。
- 练习二：长方形被分成12行18列小方格？题目说“12cm×18cm，每隔1cm画线”，那么横向有18+1=19条竖线？不，画平行线会形成网格，格点数是(12+1)×(18+1)=13×19=247个。问一条对角线经过多少格点。对角线连接的是(0,0)到(18,12)（假设单位是格）。Δx=18, Δy=12, gcd(18,12)=6。线段上总格点数 = gcd + 1 = 6 + 1 = 7个。
- 练习三：以A(0,0), B(8,6)为例。Δx=8, Δy=6, gcd(8,6)=2 ≠ 1。所以天桥在建设中，必然会经过某个十字路口（如(4,3)）的正上方，因此不能建成“不经过任何其他十字路口”的天桥。如果想让天桥能建成，需要调整B点的位置，使得Δx和Δy互质。
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