重力换算：能量视角下的「引力跳板」攻略

💡 阿星精讲：重力换算 的本质

想象一下，你在地球上纵身一跳，大腿肌肉做的功 \( W \) 会转化为克服地球重力 (\( g_{\text{地}} \approx 9.8 \, \text{m/s}^2 \)) 的势能。这个关系由 \( W = m g_{\text{地}} h_{\text{地}} \) 决定。

但月球只有「六分之一的引力」，即 \( g_{\text{月}} = \frac{1}{6} g_{\text{地}} \)。根据能量守恒定律，同样的一份肌肉做功 \( W \)，在月球上可以转化为势能 \( W = m g_{\text{月}} h_{\text{月}} \)。由于 \( g \) 变小了，为了“储存”同样多的能量，高度 \( h \) 就必须增大，从而带来「惊人的势能高度」。这就是重力换算的物理内核：在相同能量输入下，高度与当地重力加速度成反比，即 \( h \propto \frac{1}{g} \)。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： \( h_{\text{月}} = 3 \, \text{m} \)。

变式一解析：
重力公式为 \( G = mg \)。重力与 \( g \) 成正比。
\( G_{\text{火}} = m \cdot g_{\text{火}} = m \cdot (0.38 g) = 0.38 \times m g = 0.38 \times G_{\text{地}} \)。
代入 \( G_{\text{地}} = 588 \, \text{N} \)，得 \( G_{\text{火}} = 0.38 \times 588 = 223.44 \, \text{N} \)。
或者直接计算：\( G_{\text{火}} = 60 \times 9.8 \times 0.38 = 223.44 \, \text{N} \)。

变式二解析：
由能量守恒 \( m g h_{\text{地}} = m g_{\text{星}} h_{\text{星}} \)，得 \( \frac{g_{\text{星}}}{g} = \frac{h_{\text{地}}}{h_{\text{星}}} \)。
已知 \( h_{\text{星}} = 2.5 h_{\text{地}} \)，所以 \( \frac{g_{\text{星}}}{g} = \frac{h_{\text{地}}}{2.5 h_{\text{地}}} = \frac{1}{2.5} = 0.4 \)。
即该星球重力加速度是地球的 \( 0.4 \) 倍。

变式三解析：
(1) 由竖直上抛运动公式 \( v_0^2 = 2 g h \)，得 \( h = \frac{v_0^2}{2g} \)。
所以 \( \frac{H_{\text{月}}}{H_{\text{地}}} = \frac{g}{g_{\text{月}}} = \frac{10}{10/6} = 6 \)。
先求地球上高度：\( H_{\text{地}} = \frac{4^2}{2 \times 10} = \frac{16}{20} = 0.8 \, \text{m} \)。
因此 \( H_{\text{月}} = 6 \times 0.8 = 4.8 \, \text{m} \)。

(2) 由竖直上抛运动时间公式 \( t = \frac{v_0}{g} \)。
所以 \( \frac{t_{\text{月}}}{t_{\text{地}}} = \frac{g}{g_{\text{月}}} = \frac{10}{10/6} = 6 \)。
即在月球上到达最高点的时间是地球上的 \( 6 \) 倍。