万有引力：质量与半径的博弈——深度解题攻略

💡 阿星精讲：万有引力 的本质

万有引力定律 \( F = G\frac{Mm}{r^2} \) 描述了两个质点间的相互吸引力。其中，\( G \) 是引力常量，\( M \) 和 \( m \) 是两物体质量，\( r \) 是它们质心间的距离。

阿星的“质量与半径的博弈”比喻非常精妙：地球对你的引力（表现为你的体重），取决于地球的总质量 \( M \)) 和你到地心的距离 \( r \))的平方。

• 情景一（密度不变）： 如果地球像被压缩的棉花糖，密度 \( \rho \)) 不变，半径 \( r \) 缩小到一半。那么质量 \( M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \) 将变为原来的 \( (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} \)。代入公式，引力 \( F \propto \frac{M}{r^2} \propto \frac{r^3}{r^2} = r \)，竟然也变为原来的一半！所以你的体重会变轻。
• 情景二（质量不变）： 如果地球被压紧但总质量 \( M \) 不变，半径 \( r \) 缩小到一半。那么 \( F \propto \frac{1}{r^2} \) 将变为原来的 \( 4 \) 倍！巨大的引力会把你压扁。

这就是“博弈”的核心：质量 \( M \) 在分子，半径 \( r \) 在分母，且是平方项，两者此消彼长的关系决定了引力的最终胜负。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题： \( g‘ = 2g \)，为原来的 \( 2 \) 倍。

变式一解析：
密度相同，则 \( M \propto R^3 \)。重力 \( F \propto \frac{M}{R^2} \propto \frac{R^3}{R^2} = R \)。行星半径 \( R_p = \frac{1}{2}R_e \)，故重力 \( F_p = \frac{1}{2} F_e = \frac{1}{2} \times 600 = 300 \, \text{N} \)。
答案： \( 300 \, \text{N} \)。

变式二解析：
由 \( g = \frac{GM}{R^2} \) 得 \( g \propto \frac{M}{R^2} \)。设地球参数为 \( g_0, M_0, R_0 \)，行星为 \( g_p, M_p, R_p \)。
则 \( \frac{g_p}{g_0} = \frac{M_p}{M_0} \cdot \left( \frac{R_0}{R_p} \right)^2 \)，即 \( \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{R_0}{R_p} \right)^2 \)。
解得 \( \left( \frac{R_0}{R_p} \right)^2 = \frac{1}{2} \)，所以 \( \frac{R_p}{R_0} = \sqrt{2} \)。
答案： \( \sqrt{2} \) 倍。

变式三解析：
证明： 设地球质量 \( M \)，半径 \( R \)，密度 \( \rho \)。当小球在隧道内，距地心 \( x \) 处 \( (|x| < R) \)，根据球壳引力为零的结论，只有半径 \( x \) 以内的球体对其有引力：
\( M‘ = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi x^3 = \frac{M}{R^3} x^3 \)。
该引力 \( F = -G\frac{M’ m}{x^2} = -G\frac{Mm}{R^3} x \)。（负号表示力指向地心）
可见 \( F \propto -x \)，满足简谐振动回复力特征。
求周期： 回复力系数 \( k = \frac{GMm}{R^3} \)，则角频率 \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{GM}{R^3}} \)。
周期 \( T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \)。注意到地表重力加速度 \( g = \frac{GM}{R^2} \)，代入得 \( T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \)，与地表单摆的周期公式在形式上巧合。
答案： \( T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \)。