快递员怎么不走回头路？20年专家用“一笔画”谜题，讲透物流核心算法！：典型例题精讲

💡 阿星精讲：路径规划 的本质

想象你是一名快递员，面前有一个复杂的居民区地图。你的任务是：“如何在不走回头路的情况下遍历所有地点？这是一个困扰数学家多年的组合最优化难题，也是物流效率的核心。” 在数学中，我们将地点抽象为“点”（顶点 \( V \) ），将道路抽象为“线”（边 \( E \) ），这就构成了一个“图”（Graph \( G(V, E) \) ）。研究“一笔画”能否完成所有派送，本质是寻找图中是否存在欧拉路径——一条经过图中每条边恰好一次的路径。其核心判据在于图中顶点的度数（与该点相连的边的数量 \( deg(v) \)）。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：不存在。理由如上文解析，奇度数顶点有 \( 4 \) 个，不符合欧拉路径存在条件。

变式一解析：可以。计算所有顶点度数：均为偶数（\( 2, 4, 2, 4, 2 \)）。奇度数顶点个数为 \( 0 \)，满足欧拉回路存在条件。故可以从任意点出发，不重复地走完所有步道并回到起点。

变式二解析：\( deg(X) \) 必须是奇数（且很可能是 \( 1 \) 或 \( 3 \) 等）。因为存在欧拉路径（非回路）时，奇度数顶点恰有 \( 2 \) 个。现有已知度数中，只有“\( 3 \)”是奇数，即已有 \( 1 \) 个奇度点。所以顶点 \( X \) 必须是另一个奇度点，其度数必为奇数。

变式三解析：至少需要增建 \( 2 \) 条。原 \( 4 \times 4 \) 网格中，四个角上的路口度数为 \( 2 \)（偶），边上非角的路口度数为 \( 3 \)（奇），内部的路口度数为 \( 4 \)（偶）。奇度数顶点是边上 \( 8 \) 个非角点，共 \( 8 \) 个。要存在欧拉回路（从某点出发回到该点），需使所有顶点度数为偶，即需消除所有 \( 8 \) 个奇度点。每新增一条边，会改变其连接的两个顶点的度数奇偶性。要消灭 \( 8 \) 个奇度点，至少需要连接 \( 4 \) 条边（因为一条边最多能改变两个点的奇偶性，\( 8 / 2 = 4 \)）。但原图已连通，且增边只能在现有顶点间，通过巧妙连接（如在两对奇度点间加边），最少增建 \( 2 \) 条边（连接 \( 4 \) 个不同的奇度点）即可将它们的度数都变为偶数，从而将奇度点总数降至 \( 4 \)，但这仍不满足回路条件。实际上，需使奇度点数为 \( 0 \)，因此需要将 \( 8 \) 个奇度点两两配对连接，恰好需要 \( 4 \) 条新增边。但题目问“至少”，且允许任意建新边。考虑更优方案：新增的一条边如果连接两个奇度点，则消灭两个；如果连接一个奇度点和一个偶度点，则奇度点数不变（奇+偶=奇）；如果连接两个偶度点，则新增两个奇度点。因此，最优策略总是用新边连接两个奇度点。消灭 \( 8 \) 个奇度点，需要 \( 4 \) 条这样的边。所以答案是 \( 4 \) 条。（注：此为简化解法，严格图论证明略）。