勾股定理应用详解：折断竹子问题的图解与避坑指南：典型例题精讲
适用年级
几何
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一根高高的竹子直直地立着（就像我们学过的“高”）。一阵大风吹来，竹子“咔嚓”一声，从某个地方折断了。奇妙的是，折断的顶端部分并没有掉在地上，而是向下弯曲，刚好碰到了地面。这时候，竹子（折断处）、地面和竹根，就组成了一个标准的直角三角形！原竹子的高度被分成了两段，一段还立着，一段斜着躺下变成了三角形的斜边。我们要求的“折断处高度”，就是其中一条直角边。阿星的解题钥匙就是：把生活中的“折”，画成数学里的“直角”，问题就变清晰了。
👀 看图说话：
关键点拨：
图中的红色线段，就是我们要求的“折断处离地面有多高”。很多同学会直接用原高减去触地距离，这是错误的！慢动作回放：竹子折断后，“折断部分”的长度（绿色线段）并不是触地距离（橙色线段），而是变成了直角三角形的斜边。那个看不见的数学关系（勾股定理），就藏在直角三角形里：（立着的部分）² + （触地距离）² = （折断部分）²。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】一根竹子高10尺，折断后竹梢触地，触地点离竹根3尺。问：折断处离地面有多高？
阿星的显微镜
1. 建模型：看图！设折断处高为 \( x \) 尺。那么，立着的部分是 \( x \) 尺，折断的斜边部分就是 \( (10 - x) \) 尺，触地距离是 \( 3 \) 尺。
2. 列方程：根据勾股定理：\( (\text{直角边1})^2 + (\text{直角边2})^2 = (\text{斜边})^2 \)
标准算式：\( x^2 + 3^2 = (10 - x)^2 \)
3. 解方程：\( x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2 \) → \( 20x = 91 \) → \( x = 4.55 \) (尺)。
【易错陷阱】一根竹子高1丈（1丈=10尺），折断后竹梢触地，触地点离竹根4尺。问：折断处离地面有多高？（单位：尺）
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：直接用10减去4，得到6尺。或者忘记单位换算，用1去计算。
图解陷阱：错误的想法是把“原高-触地距离”当成了折断高度（红色线段），这相当于把绿色的斜边“拉直”当成了橙色直角边，完全忽略了直角三角形的结构。
正确思路：识别核心模型！先统一单位（1丈=10尺）。设折断处高 \( x \) 尺。则方程为：\( x^2 + 4^2 = (10 - x)^2 \)，解得 \( x^2 + 16 = 100 - 20x + x^2 \)，\( 20x = 84 \)，\( x = 4.2 \) 尺。
【高手进阶】小明想测量一棵被风吹斜的小树的高度。他在树根处垂直地面立了一根2米长的杆子，发现树梢的影子末端刚好落在杆子顶端。他测得树根到杆子底部的距离是1.5米，到树梢影子末端的距离是6.5米。你能帮他算出树（从根到梢）的实际长度吗？
思维迁移：这其实就是“折断竹子”模型的变体！我们把“树干+树梢”想象成一根“折断的竹子”。“杆子高度(2米)”相当于“折断处高度(x)”吗？不，这里更巧妙。关键是把“树梢-杆子顶-影子末端”这个直角三角形找出来。 树根到影子末端的距离(6.5米)是一条直角边，杆子高(2米)是另一条直角边。树的实际长度（斜边）= 这条斜边长度 + 树根到杆子底的距离(1.5米)。即：树长 = \( \sqrt{6.5^2 - 2^2} + 1.5 = \sqrt{38.25} + 1.5 \approx 6.18 + 1.5 = 7.68 \)米。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
竹子折断不用慌，直角三角来帮忙。
立高² + 距² = 斜长²，设x解方程，答案自然亮。
🚀 举一反三：巩固练习
（基础复现）一根旗杆高8米，一场大风后从某处折断，顶部触地点离杆底3米。折断处离地面多少米？
（陷阱识别）一根长25分米的竹竿，斜靠在一面竖直的墙上。竿子顶端距离地面24分米。如果竹竿下滑，顶端下滑了4分米，那么底端会水平滑出多少分米？
（生活应用）一台55英寸的电视，屏幕长宽比为16:9。请问它的屏幕长度大约是多少厘米？（1英寸≈2.54厘米，利用勾股定理求对角线、长、宽的关系）
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：设折断处高 \( x \) 米。\( x^2 + 3^2 = (8-x)^2 \)，解得 \( x=55/16 \approx 3.44 \) 米。
练习二：陷阱提示：竿长不变！先求原状态下底端离墙距离：\( \sqrt{25^2-24^2}=7 \)分米。下滑后，顶端高20分米，底端离墙距离：\( \sqrt{25^2-20^2}=15 \)分米。所以底端滑出 \( 15-7=8 \)分米。
练习三：设比例系数为k，则长=16k，宽=9k。对角线公式：\( (16k)^2+(9k)^2=(55×2.54)^2 \)，解得k≈7.15。屏幕长度≈16×7.15≈114.4厘米。
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