小学数学工程轮流问题图解攻略：阿星口诀破解周期陷阱：典型例题精讲
适用年级
五年级
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，一项大工程就像一根长长的香肠。甲和乙两个人，要一人一天轮流把它吃完。我们想知道总共需要几天。最关键的秘诀是：看最后剩下的那口，够不够甲吃一天。
为什么是甲？因为题目通常设定是“甲先做”。整个轮流的过程，可以看作先让甲乙按顺序“打包”吃掉完整的几组（每组是“甲一天+乙一天”），最后剩下的，就从新一轮的“甲”开始试吃。如果能吃完，那天数就正好；如果剩的连甲一天的量都不到，那实际上最后一天也消耗不掉，说明计算有误。
👀 看图说话：工程“香肠”的轮流切法
关键点拨：
图中的“？”区域，就是解决所有轮流问题的钥匙。我们解题时，总是先算出两人合作一天能干多少（一个完整周期的工作量），然后用总工作量去除，得到商和余数。商代表可以完整工作的周期数（几组“甲乙”），余数就是最后剩下的那截“香肠”。接下来，我们就要像阿星说的，慢动作回放：用余数去和“甲一天”的工作量比大小。如果余数 ≤ 甲效，那么最后一天就是甲收尾；如果余数 > 甲效，说明甲干完一天后还有剩，那就需要乙再来一天。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。两人轮流各做一天，甲先开始，需要多少天完成？
阿星的显微镜
1. 化总量为“1”：设工程总量为1。
2. 算效率：甲效 = 1/10，乙效 = 1/15。
3. 找周期：一个轮流周期（甲一天+乙一天）的工作量 = 1/10 + 1/15 = 1/6。
4. 试除看余数：总工作量1 ÷ 周期工作量1/6 = 6（个周期）... 余0？等等，这意味着正好6个周期干完？那总天数是6×2=12天吗？别急，我们用核心隐喻验证：如果干完6个完整周期，最后一天是乙收尾。但余数为0，意味着没有剩余工作。所以，不需要“看余数够不够甲做”这一步，因为根本没余数。答案就是12天。
标准算式：\( 1 \div (\frac{1}{10} + \frac{1}{15}) = 6 \)（个周期）， \( 6 \times 2 = 12 \)（天）。
【易错陷阱】一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。两人轮流各做一天，甲先开始，多少天可以完工？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：甲效=1/6，乙效=1/12。周期工作量=1/6+1/12=1/4。1 ÷ (1/4) = 4（个周期）。错误认为总天数=4×2=8天。
图解陷阱：在上面的SVG图中，这意味着切出4个完整的“甲乙”组合后，香肠正好切完（余数为0）。但实际是这样吗？
正确思路：让我们代入核心隐喻仔细算：1 ÷ (1/4) = 4... 余0？验算一下：4个周期完成的工作量是 4 × (1/4) = 1。确实正好完成。等等，那8天不就是对的吗？陷阱就在这里！我们忽略了“轮流各做一天”且“甲先开始”。如果干完4个完整周期，顺序是：甲、乙、甲、乙、甲、乙、甲、乙。第8天是乙在工作。这没问题。但让我们换一个更狡猾的数据来揭示真正的陷阱：假设甲效1/5，乙效1/10，总量1。周期量=3/10。1 ÷ (3/10) = 3... 余1/10。很多人会算：3个周期是6天，余下的1/10给甲做，甲一天能做1/5=2/10 > 1/10，所以第7天甲做完。总天数=6+1=7天。这就掉坑了！因为余数(1/10)小于甲的一天工作量(2/10)，所以甲在第7天确实能完成。但原题的陷阱在于，它用“整除”迷惑了你，让你忘了验证“最后一个周期是否完整”。对于原题（甲6天，乙12天），8天是正确的，但解题时必须经历“判断余数”这一步，哪怕余数为0。很多题会出成无法整除的情况，学生如果套用“整除就直接乘2”就会出错。
为了更清楚，我们修正并强化陷阱题：一项工程，甲独做5天，乙独做10天，轮流各做1天，甲先开始，需几天？
周期量=1/5+1/10=3/10。1 ÷ 3/10 = 3...余1/10。
判断余数：余数1/10，甲一天做1/5=2/10。因为1/10 < 2/10，所以余下的甲一天就能搞定。
正确天数：3个周期×2天/周期 + 1天 = 7天。
常见错误：3个周期是6天，余1/10，想当然加1天得7天，却没有判断这1天是谁做、能否做完。如果余数是2/10（等于甲效），结论一样。但如果余数是3/10（大于甲效但小于周期量），就需要甲做一天（完成2/10），剩下1/10给乙再做一天，总天数就是6+2=8天。这个判断过程至关重要！
【高手进阶】阿星和卡莉一起录入一份文稿。阿星单独录入需8小时，卡莉单独录入需12小时。为了公平，他们决定轮流每人录入1小时，由阿星开始。上午8点开工，最早几点能完成工作？
思维迁移：这完全是“工程轮流”模型的现实应用！只是单位从“天”变成了“小时”。解题骨架完全一致：
1. 设总量为1，阿星(甲)效率1/8，卡莉(乙)效率1/12。
2. 一个周期（2小时）工作量：1/8 + 1/12 = 5/24。
3. 1 ÷ (5/24) = 4...余4/24 = 1/6。
4. 关键判断：余数1/6，阿星一小时做1/8=3/24≈0.125，1/6=4/24≈0.167。因为0.167 > 0.125，所以阿星做一小时后（完成3/24），还剩(4/24 - 3/24)=1/24给卡莉。
5. 卡莉一小时做1/12=2/24，剩余的1/24她不需要一小时就能完成，但题目说“轮流每人录入1小时”，所以这最后一小时仍然是卡莉的工作时间，即使她可能提前做完。
6. 计算总时间：4个周期×2小时 + 阿星1小时 + 卡莉1小时 = 10小时。
7. 从上午8点开始，经过10小时，是下午18点（晚上6点）。
注意：即使最后一小时卡莉提前完工，计算的也是她占用了一小时的工作时段，所以结束时间点不变。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
工程轮流做，先求周期和。
总量除以它，商余手中握。
余数比甲效，判断谁收尾。
小于等于甲，甲来收工妥；
若是比甲大，乙需再来过。
🚀 举一反三：巩固练习
（基础复现）一项工程，甲队独做需20天，乙队独做需30天。两队轮流各做一天，甲队先做，完成全部工程共用多少天？
（陷阱识别）打印一份文件，小张单独打需4小时，小李单独打需6小时。两人轮流各打1小时，小张开始。完成时，小张和小李各工作了多少小时？
（生活应用）给一块地浇水，用A水管需40分钟灌满水池，用B水管需60分钟。现在交替使用两根水管各10分钟，由A水管先开始，灌满整个水池需要多少分钟？
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一：24天。（解析：周期量=1/20+1/30=1/12，1÷1/12=12个周期，无余数。12×2=24天。）
- 练习二：小张3小时，小李2小时。（解析：周期量=1/4+1/6=5/12，1÷5/12=2...余2/12=1/6。2个周期用4小时（各2小时）。余数1/6，小张一小时做1/4=3/12>2/12，所以第5小时小张完成。总计小张：2+1=3小时，小李：2小时。）
- 练习三：56分钟。（解析：将总量看作1，A效=1/40，B效=1/60。一个“轮流周期”（20分钟）工作量=10/40+10/60=1/4+1/6=5/12。1÷5/12=2...余2/12=1/6。2个周期用40分钟。余量1/6，A管10分钟可注入10/40=1/4=3/12，因为3/12 > 2/12，所以余下的由A管在第三个周期的前一段时间内完成。需要时间：余量÷A效=(1/6) ÷ (1/40) = 40/6 ≈ 6.67分钟。但题目是“交替各用10分钟”，所以A管开启第三个10分钟时段，但只用约6.67分钟就灌满。因此总时间=40分钟 + 6.67分钟 ≈ 46.67分钟。但注意，这是连续工作的时间。严格按“交替10分钟”的操作：2周期后（A10,B10,A10,B10），40分钟完成工作量5/12×2=10/12，剩2/12。接下来A开10分钟，完成1/4=3/12，但只需要完成2/12即可，所以A的实际工作时间是 (2/12) ÷ (1/40) = 80/12 ≈ 6.67分钟。总用时=40+6.67=46.67分钟。原答案56分钟有误，这里给出正确解析。更严谨的“轮流各10分钟”模型下，通常计算到“需要A管额外工作的时间”即可，总时长=周期数×20分钟+最后一轮A管所用分钟数。）
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