小学数学公倍数深度图解：无限中的有限规律：典型例题精讲
适用年级
五年级
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⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
🚀 阿星的公倍数指南：从无限星海到精准定位
💡 阿星解密：为什么“无限”中能找出“有限”？
想一想，两个数的公倍数（比如3和4的公共倍数）有无限多个，这听起来像个无底洞，怎么找得完呢？但考试只问“第5个公倍数是多少”或者“100以内有几个公倍数”。这就像在一片无限的星海（所有公倍数）中，找到其中特定的几颗星星（满足条件的那些）。秘密就在于：所有星星（公倍数）的排列，是有严格规律的！
👀 看图说话：无限公路上的“相遇点”
关键点拨：
看上图，我们把数“3”和“4”的倍数分别画在一条无限长的公路上。红色点（3，6，9…）和蓝色点（4，8，12…）各自有自己的节奏。
慢动作回放：它们会在哪些位置“同时出现”（既是红点又是蓝点）？第一个相遇点是12，第二个是24，第三个是36……你发现规律了吗？
那个“隐形数字”就是“12”——最小公倍数。所有的公倍数（紫色星星），都出现在以“12”为步长的格子上！所以，“无限”的公倍数，其实是由一个“有限”的最小公倍数，像尺子一样，不断复制出来的。找到这把“尺子”（最小公倍数），你就掌握了定位任何一颗特定“星星”（第N个公倍数）的密码。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】求4和6的第3个公倍数。
阿星的显微镜
1. 找“尺子”（最小公倍数）：4和6的最小公倍数是12。这就是公路上第一个相遇点。
2. 用“尺子”量出第N个点：第3个公倍数，就是从第一个点（12）开始，再量出2把“尺子”的长度。
标准算式：\( 12 + 12 \times (3-1) = 12 \times 3 = 36 \) 或直接 \( 12 \times 3 = 36 \)。
【易错陷阱】求4和6的100以内的公倍数有几个？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：直接用 \( 100 \div 12 = 8 \cdots 4 \)，答：8个。
图解陷阱：在“无限公路”上，从0到100这段路，第一个相遇点（12）是包含在内的。上面的错误算法，潜意识里是从12之后才开始数的，漏掉了12本身！
正确思路：问题等价于问“100以内，有多少个12的倍数？”。第一个倍数是12本身，最后一个是不超过100的最大倍数（12×8=96）。
计算：\( 100 \div 12 = 8 \cdots 4 \)，这8个倍数分别是：12×1, 12×2, …, 12×8。“商”8直接就是个数。
【高手进阶】广场上有两种彩灯，红灯每5秒亮一次，蓝灯每8秒亮一次。晚上8点整两灯同时亮起，那么接下来的3分钟内，它们还有几次会同时亮起？
思维迁移：
1. 识别核心模型：“同时亮起”就是5和8的公倍数时刻。第一个同时刻是0秒（最小公倍数40秒？别急！这里最小公倍数是时间间隔40秒，但起点是0秒）。
2. 确定“尺子”：两次同时亮起的时间间隔是5和8的最小公倍数40秒。
3. 划定“公路段”：总时长3分钟=180秒。我们研究从0秒到180秒这段“公路”。8点整（0秒）已经有一次同时亮，问“还有几次”，就是求在开区间(0, 180]内，还有多少个40秒的倍数点。
计算：\( 180 \div 40 = 4 \cdots 20 \)。商4代表有4个时刻（40, 80, 120, 160秒）会同时亮。这正好是“还有的4次”。（注意，0秒那次不算在“还有”里，180秒那个时刻没到就结束了也不算）
📝 阿星的定海神针（口诀）：
公倍无限像星星，最小一颗是核心。
要找特定第几个，核心倍数往上乘。
要求范围有几个，范围除以核心数，商是几来就几个。
🚀 举一反三：巩固练习
求6和9的第4个公倍数。
求6和9在50以内的公倍数有几个？(小心“50以内”是否包含50？)
从学校到车站，甲路车每10分钟发一班，乙路车每15分钟发一班。早上6:00两路车同时发车，那么在上午6:00到7:00之间，两路车有多少次同时发车？（包含6:00那次吗？）
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：54 (解析：最小公倍数18，第4个公倍数=18×4=72？错！第一个公倍数是18，第4个=18×4？不，第1个是18×1，第4个应是18×4=72。等等，6和9的第一个公倍数是18吗？6的倍数：6,12,18,24...；9的倍数：9,18,27...。是的，第一个（最小）公倍数是18。所以第4个=18×4=72。再确认：第1个18，第2个36，第3个54，第4个72。所以答案是72。)
练习二：2个 (解析：最小公倍数18。50以内18的倍数：18, 36。共2个。)
练习三：3次 (解析：时间间隔为10和15的最小公倍数30分钟。1小时=60分钟。同时发车时刻为：6:00, 6:30, 7:00。问题问“6:00到7:00之间”，通常理解为区间[6:00, 7:00)。因此包含6:00，不包含7:00。所以有6:00和6:30两次？等等，“之间”有时包含起点吗？仔细读题：“在上午6:00到7:00之间”，一般数学上理解为闭区间[6:00, 7:00]或半开半闭。结合生活常识，6:00同时发车是开始的时刻，应计入。7:00整是结束的时刻，也在这个时间段内。但7:00那次发车，算“之间”吗？通常“之间”包含起点和终点吗？我们严格按数学模型来：从6:00开始，每隔30分钟同时发车。6:00(0分钟), 6:30(30分钟), 7:00(60分钟)。60分钟正好是60，60÷30=2，商2表示有2个间隔，对应3个时刻（包含起点）。因为问“有多少次同时发车”，这3次都发生在时间段内。所以答案是3次。关键是与生活用语“之间”的理解可能产生的歧义，数学上应明确包含端点。)
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