输了就加倍？数学博士用一道题揭穿“马丁格尔策略”的致命陷阱！：典型例题精讲

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💡 阿星精讲：赌徒谬误 的本质

欢迎来到“韭菜收割机”解剖现场！很多赌徒（或投资者）信奉一种“马丁格尔策略”：第一次下注 \( 1 \) 元，输了下次就下注 \( 2 \) 元，再输就下 \( 4 \) 元... 只要赢一次，就能翻本并赚 \( 1 \) 元。听起来很美，对吗？阿星来泼冷水了：这本质是赌徒谬误的变种——错误地认为“连续输”后，“赢”的概率会增大。但每次抛硬币、轮盘赌都是独立事件，概率恒定（例如输的概率为 \( p \)）。数学上，你的资金是有限的 \( M \)，而赌场的资金（或你的止损线）是“相对无限”的。连续 \( n \) 次输的概率是 \( p^n \)（虽小但>0），一旦发生，你将亏损 \( 2^n - 1 \) 元，瞬间“爆仓”。赌场正是利用微小的概率优势（例如 \( p > 0.5 \)）和期望值 \( E < 0 \)，像收割机一样长期稳定地收割“韭菜”。记住，在独立随机事件中，过去无法改变未来！

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：1. \( n = 5 \)；2. 净盈利 \( 1 \) 元；3. 成功概率 \( \frac{63}{64} \)。

变式一解析：

1. 资金约束：\( 2^n - 1 \le 127 \Rightarrow 2^n \le 128 \Rightarrow n \le 7 \)。

2. 成功概率 = \( \sum_{k=0}^{7} P(\text{前k次输，第k+1次赢}) = \sum_{k=0}^{7} q^k \cdot p \)，其中 \( p = \frac{18}{38}, q = \frac{20}{38} \)。

等比数列求和：\( p \cdot \frac{1 - q^8}{1 - q} = 1 - q^8 = 1 - \left( \frac{20}{38} \right)^8 \approx 1 - 0.0054 \approx 0.9946 \)。

即使赢面小于 \( 50\% \)，成功率依然很高，但破产时损失巨大（\( 127 \) 元）。

变式二解析：

风险金 \( 255 \) 元，则最大连续失败次数 \( n \) 满足 \( 2^n - 1 \le 255 \Rightarrow n \le 8 \)。

破产概率 = 连续失败 \( 9 \) 次的概率 = \( (1-p)^9 \)。

要求 \( (1-p)^9 \le 0.01 \Rightarrow 1-p \le 0.01^{1/9} \approx 0.01^{0.1111} \approx 0.668 \) （计算：\( 0.01^{1/9} = e^{\frac{\ln(0.01)}{9}} \approx e^{-0.512} \approx 0.599 \) 更精确）。

更精确计算：\( (1-p)^9 \le 0.01 \Rightarrow 1-p \le 10^{-2/9} \approx 10^{-0.2222} \approx 0.599 \)。

所以 \( p \ge 1 - 0.599 = 0.401 \)。

即单局胜率至少需 \( 40.1\% \) 以上，才能保证破产概率低于 \( 1\% \)。

变式三解析：

关键变化：赢了仅获 \( 0.95 \) 倍下注额回报。

考察“连输 \( k \) 次后第 \( k+1 \) 次赢”这个循环：总投入 \( S = 1 + 2 + ... + 2^{k-1} + 2^k = 2^{k+1} - 1 \)。

第 \( k+1 \) 次赢，收回 \( 0.95 \times 2^k \)。

净盈利 = \( 0.95 \times 2^k - (2^{k+1} - 1) = 1 - 1.05 \times 2^k \)。

当 \( k=0 \)（第一次就赢），盈利 \( 1 - 1.05 \times 1 = -0.05 \) 元，居然亏了！

当 \( p=0.5 \) 时，计算一次完整循环（直到赢一次为止）的期望收益：

期望收益 = \( \sum_{k=0}^{\infty} [P(\text{前k次输，第k+1次赢}) \times \text{净盈利}] = \sum_{k=0}^{\infty} [0.5^{k+1} \times (1 - 1.05 \times 2^k)] \)。

化简：\( = \sum_{k=0}^{\infty} 0.5^{k+1} - 1.05 \sum_{k=0}^{\infty} 0.5^{k+1} \times 2^k \)。

第一项是等比数列求和：\( \sum_{k=0}^{\infty} 0.5^{k+1} = 1 \)。

第二项：\( 0.5^{k+1} \times 2^k = 0.5 \times (0.5 \times 2)^k = 0.5 \times 1^k = 0.5 \)。

所以第二项求和 = \( 1.05 \sum_{k=0}^{\infty} 0.5 = +\infty \)？等等，这里计算有误。

更正：\( 0.5^{k+1} \times 2^k = 0.5 \times (0.5 \times 2)^k = 0.5 \times 1^k = 0.5 \) 对每个 \( k \) 都是常数 \( 0.5 \)，所以求和发散。这意味着我们需要考虑资金上限 \( M \)。

更深刻的理解：由于存在抽水，即使胜率 \( p=0.5 \)，每一次下注的期望收益已是负值（\( E = 0.5 \times 0.95 + 0.5 \times (-1) = -0.025 \)）。马丁格尔策略只是改变了输赢的序列分布，但改变不了负期望的本质。长期来看，赌徒必输，且抽水加速了破产。