零基础看懂斐波那契数列：从兔子繁殖到黄金分割，三步成大神：典型例题精讲

阿星拆解：

规则就一条：前两项之和等于第三项。我们像数台阶一样，一步一步来。

1. 已知：\( F_1 = 1 \)， \( F_2 = 1 \)。

2. 求 \( F_3 \)：\( F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2 \)。

3. 求 \( F_4 \)：\( F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3 \)。

4. 求 \( F_5 \)：\( F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5 \)。

5. 求 \( F_6 \)：\( F_6 = F_5 + F_4 = 5 + 3 = 8 \)。

所以，第3到第6项分别是：\( 2, 3, 5, 8 \)。看，就像滚雪球，越滚越大！

阿星敲黑板：

陷阱提示：题目没有直接问 \( 55 \) 是第几项，而是说“已知某一项是 \( 55 \)，它的下一项是 \( 89 \)”，这其实已经把 \( 55 \) 和 \( 89 \) 是连续两项这个关系告诉我们了。我们需要从已知的起点开始，列表推导，直到找到 \( 55 \) 。千万别试图用复杂公式倒推，对于新手，列表最安全！

化解与计算：

1. 我们从开头老老实实写：\( F_1 = 1 \)， \( F_2 = 1 \)。

2. \( F_3 = 1+1=2 \)， \( F_4 = 2+1=3 \)， \( F_5 = 3+2=5 \)， \( F_6 = 5+3=8 \)， \( F_7 = 8+5=13 \)， \( F_8 = 13+8=21 \)， \( F_9 = 21+13=34 \)， \( F_{10} = 34+21=55 \)！

3. 停！我们找到了 \( 55 \)，它是第 \( 10 \) 项 \( F_{10} \)。

4. 验证一下它的下一项：\( F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34 = 89 \)，完全符合题目条件。

所以，这一项是第10项。记住，斐波那契数列里，每个数字都有它固定的“辈分”（位置），不能搞错。

思维迁移：

这看起来和数列没关系？别急，我们把它“翻译”回斐波那契的“生长规律”。

1. 设覆盖 \( 2 \times n \) 棋盘的方法数为 \( a_n \)。

2. 思考第一个位置怎么放：只有两种放法。

方案A：竖着放一块骨牌。覆盖了最左边的2格，剩下就是一个 \( 2 \times (n-1) \) 的棋盘，覆盖方法就是 \( a_{n-1} \) 种。

方案B：横着放两块骨牌（上下并列）。覆盖了左边一个“2x2”的方块，剩下就是一个 \( 2 \times (n-2) \) 的棋盘，覆盖方法就是 \( a_{n-2} \) 种。

3. 所以，总方法数 \( a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \)！这正是“前两项之和等于第三项”的斐波那契递推关系！

4. 我们再看起点：当 \( n=1 \) 时，棋盘是 \( 2 \times 1 \)，只能竖放1块，所以 \( a_1 = 1 \)。当 \( n=2 \) 时，棋盘是 \( 2 \times 2 \)，可以全竖放（2种）或全横放（1种），但注意，两块竖放因为完全一样，所以只算一种。实际上有两种：全部竖放、全部横放。所以 \( a_2 = 2 \)。

5. 因此，这个数列是：\( a_1=1, a_2=2, a_3=3, a_4=5, a_5=8... \) 看，它就是我们的斐波那契数列（从1， 2开始）！题目给的 \( n=3 \) 时是3种，正好对上了。

场景变了，但“拆解成前两种情况之和”的核心逻辑没变。 斐波那契数列揭示的，正是这种“分步累积”的普遍规律。