初二数学期末急救：分式的值为0易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 若分式 \( \frac{x^2-4}{x-2} \) 的值为0，则 \( x \) 的值为______。

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：学生看到分子 \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \)，与分母有公因式 \( (x-2) \)，直接“约分”得到 \( x+2 \)。然后令 \( x+2=0 \)，解得 \( x = -2 \)。然后就结束了，认为答案就是 \( -2 \)。

✅ 阿星解析：

1. 正确思路应拒绝先约分的诱惑，严格按照“双重标准”：
   标准一：分子 \( x^2-4 = 0 \) → \( (x-2)(x+2)=0 \) → \( x = 2 \) 或 \( x = -2 \)。
2. 标准二：分母 \( x-2 eq 0 \) → \( x eq 2 \)。
3. 综合两项标准：\( x = 2 \) 使分母为0（无意义），必须舍去；\( x = -2 \) 同时满足分子为0且分母不为0（\( -2-2 = -4 eq 0 \)）。
4. 所以，正确答案是 \( x = -2 \)。虽然结果和错误做法一样，但过程逻辑天差地别！如果题目是 \( \frac{x^2-4}{x^2-4x+4} \) 呢？约分的陷阱就立刻显现了。

【易错题2：思维陷阱】 若分式 \( \frac{|x|-3}{x^2 + 2x - 3} \) 的值为0，则 \( x \) 的值为______。

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：学生解 \( |x| - 3 = 0 \) 得 \( x = \pm 3 \)。然后代入分母检验：当 \( x=3 \) 时，分母 \( 9+6-3=12 eq 0 \)；当 \( x=-3 \) 时，分母 \( 9-6-3=0 \)。于是只舍掉 \( x=-3 \)，得出 \( x=3 \。 ✅ 阿星解析：

1. 第一步（分子为0）正确：\( |x| - 3 = 0 \) ⇒ \( |x| = 3 \) ⇒ \( x = 3 \) 或 \( x = -3 \)。
2. 第二步（分母不为0）需要解不等式，而非仅代入检验：分母 \( x^2 + 2x - 3 eq 0 \)。
3. 解方程 \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) ⇒ \( (x+3)(x-1)=0 \) ⇒ \( x = -3 \) 或 \( x = 1 \)。这意味着当 \( x = -3 \) 或 \( x = 1 \) 时，分母为零。
4. 因此，要使分式有意义，必须 \( x eq -3 \) 且 \( x eq 1 \)。
5. 综合来看，从 \( {3, -3} \) 中，排除 \( -3 \)（它同时让分子为0和分母为0），保留 \( 3 \)。同时也要注意 \( x=1 \) 虽然不影响分子，但它是分母的零点，在整个讨论中始终被排除。
6. 所以，最终答案是 \( x = 3 \。陷阱在于，分母不为0是一个不等式条件，有时需要先解出分母的零点，再整体排除，而不是仅仅代入分子解去验算。

🔍 数轴可视化 (双重标准筛选)：

数轴图示：红圈为分母零点（禁区），绿圈为分子零点（候选）。重合的(-3)被淘汰。

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：

• 只考虑分式部分为0，忽略二次根式 \( \sqrt{4-x^2} \) 的存在和其本身（被开方数非负）的定义域。
• 或者，分别令分式为0、根式为0，然后取解集的并集，而不是要求两者同时为0。

✅ 阿星解析： 此题是“双重标准”的超级加倍！

1. 整体分析： \( y \) 是两个式子相加，要使 \( y=0 \)，必须满足：分式部分 + 根式部分 = 0。由于根式 \( \sqrt{4-x^2} \geq 0 \) 恒成立，所以要使和为0，唯一的可能是：
   • 条件A：分式部分的值为 \( \leq 0 \)。
   • 条件B：根式部分的值为 \( \geq 0 \)。
   • 条件C：两者互为相反数。

   但更巧妙的思路是：两个非负数（一个分式，一个根式）相加为0，则必须每一项都为0。这里根式已经是非负，但分式可能为负。所以核心条件是：
   
   ① 分式的值为0；② 根式 \( \sqrt{4-x^2} \) 的值也为0。

2. 分步击破：
   
   第一步：令根式部分为零。
   
   \( \sqrt{4-x^2} = 0 \) ⇒ \( 4-x^2 = 0 \) ⇒ \( x^2 = 4 \) ⇒ \( x = \pm 2 \)。
   
   同时，根式本身的定义域要求 \( 4-x^2 \geq 0 \)，即 \( -2 \leq x \leq 2 \)。所以 \( x = \pm 2 \) 符合定义域。
3. 第二步：令分式部分为零，并检查其分母。
   
   分式 \( \frac{|x| - 2}{x^2 - 5x + 6} = 0 \) ⇒ 分子 \( |x| - 2 = 0 \) ⇒ \( |x| = 2 \) ⇒ \( x = \pm 2 \)。
   
   分母 \( x^2 - 5x + 6 eq 0 \) ⇒ \( (x-2)(x-3) eq 0 \) ⇒ \( x eq 2 \) 且 \( x eq 3 \)。
   
   ∴ 使分式为0的 \( x \) 值为 \( x = \pm 2 \)，但需排除 \( x=2 \)（因它使分母为0），排除 \( x=3 \)（不在解集内）。所以分式部分为0的解是 \( x = -2 \)。
4. 第三步：取公共解。
   
   要使整个 \( y=0 \)，必须同时满足【根式为0】和【分式为0】。
   
   从第一步得候选：\( x = 2 \) 或 \( x = -2 \)。
   
   从第二步得候选：\( x = -2 \)。
   
   两者的公共解只有 \( x = -2 \)。
5. 第四步：最终验证。
   当 \( x = -2 \) 时：
   • 分式：\( \frac{|-2|-2}{4+10+6} = \frac{0}{20} = 0 \)。
   • 根式：\( \sqrt{4-4} = 0 \)。
   • ∴ \( y = 0 + 0 = 0 \)。

   当 \( x = 2 \) 时，分式分母 \( (2-2)(2-3)=0 \)，分式无意义，故舍去。
   
   因此，满足 \( y=0 \) 的 \( x \) 的值是 \( x = -2 \)。