初二数学期末急救：分式方程（增根）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：分式方程（增根） 的核心避坑原理

• 概念重塑：把解分式方程想象成一场“抓内鬼”的游戏。我们通过“去分母”（两边乘最简公分母）把这个分式方程变成整式方程来解。整式方程解出的 \( x \) 值，就像是抓到的“嫌疑人”。但是，其中可能混入了“卧底”——那些让原方程分母为零的值。一旦分母为零，整个分式就失去了意义（“炸了”）。所以，我们必须把每个“嫌疑人” \( x \) 带回原方程的分母进行“安检”（检验）。让任何分母等于零的 \( x \)，就是“增根”（卧底），必须当场“拿下”（舍去）。
• 避坑口诀：解分式，别大意，解得根，要安检，分母零，是卧底，果断舍去莫迟疑。

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：“解出来答案就是对的，不用检验。” → ✅ 正解：检验是解分式方程的法定步骤，不是可选项。漏掉检验，等于主动放走“卧底”。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：“去分母后的新方程里没有字母分母了，所以解出来的 \( x \) 肯定安全。” → ✅ 正解：“卧底”潜伏在原方程的分母里，必须代入原方程（或最简公分母）检验，不能看变形后的方程。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：检验时只代入了一个分母，忘了另一个。 → ✅ 正解：原方程有几个不同的字母分母，就要确保解不能让其中任何一个为零。代入“最简公分母”检验最全面。

🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 解分式方程 \( \frac{x}{x-1} = 2 \) ，去分母得 \( x=2(x-1) \)，解得 \( x=2 \)。因为 \( x=2 \) 代入分母 \( 2-1=1 eq0 \)，所以方程的解是 \( x=2 \)。这个解法完全正确。（ ）
2. 方程 \( \frac{x-3}{x-5} = \frac{m}{x-5} \) 有增根，则增根一定是 \( x=5 \)。（ ）
3. 若解分式方程时产生增根，则这个增根一定是去分母后所得整式方程的解。（ ）
4. 方程 \( \frac{2}{x} + \frac{3}{x-1} = 6 \) 的最简公分母是 \( x(x-1) \)，所以可能的增根是 \( x=0 \) 或 \( x=6 \)。（ ）
5. 解方程 \( \frac{3}{x} = 1 - \frac{2}{x-2} \) 时，小明的检验过程是：把解得的 \( x \) 代入 \( 1 - \frac{2}{x-2} \) 计算，看是否等于 \( \frac{3}{x} \)。（ ）

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 若分式方程 \( \frac{x}{x-3} - 2 = \frac{m}{x-3} \) 有增根，则 \( m = \) ______ 。
2. 关于 \( x \) 的方程 \( \frac{a}{x-2} + 3 = \frac{1-x}{2-x} \) 的解为正数，则 \( a \) 的取值范围是 ______ 。
3. 解方程 \( \frac{2}{x^2-4} + \frac{x}{x-2} = 1 \) 时，必须排除的 \( x \) 值是 ______ 。（写出所有）
4. 小明在解方程 \( \frac{1}{x-2} = \frac{1-x}{2-x} - 3 \) 时，第一步去分母，他应选择的最简公分母是 ______ ，这一步需要特别注意的是 ______ 项的符号变化。
5. 某货车从A地到B地，时速提高 \( 5 \, km/h \) 后，时间可节省 \( \frac{1}{6} \)。设原速度为 \( x \, km/h \)，根据题意可列方程 ______ 。（列出方程即可，无需化简）

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ❌ 错误。 解法前半部分正确，但漏掉了关键一步：检验。虽然此题答案 \( x=2 \) 碰巧正确，但“检验”是必须写出的步骤，不能省略。没有检验过程的解法是不完整的。
2. ✅ 正确。 增根是使原方程分母为零的值，原方程分母是 \( x-5 \)，所以增根一定是 \( x=5 \) 。
3. ✅ 正确。 增根是在去分母过程中产生的，它一定是整式方程的解，否则它无法“混进”最终的解集中。
4. ❌ 错误。 最简公分母是 \( x(x-1) \) 正确，但可能的增根是使公分母为零的 \( x \) 值，即 \( x=0 \) 或 \( x=1 \) ，不是 \( x=6 \) 。
5. ❌ 错误。 检验的目的是判断解是否使原方程的分母为零。正确做法是将解得的 \( x \) 代入原方程的最简公分母 \( x(x-2) \)**中检验是否为零。小明的做法是在验算计算过程，而非检验增根。

第二关：防坑演练

1. \( m = 3 \)。解析：增根 \( x=3 \)。去分母得整式方程：\( x - 2(x-3) = m \)。代入 \( x=3 \)：\( 3 - 0 = m \)，故 \( m=3 \)。
2. \( a < 1 \) 且 \( a e -2 \)**。解析：先化方程。\( \frac{a}{x-2} + 3 = \frac{x-1}{x-2} \)（注意 \( 2-x = -(x-2) \)）。去分母：\( a + 3(x-2) = x-1 \)，解得 \( x = \frac{5-a}{2} \) 。由解为正数得 \( \frac{5-a}{2} > 0 \)，即 \( a < 5 \)。还要检验增根和分母限制：原方程分母 \( x-2 eq 0 \)，即 \( \frac{5-a}{2} eq 2 \)，解得 \( a eq 1 \)。同时，第二个分母 \( 2-x \) 在变形前也存在，隐含 \( x eq 2 \)，但已包含在 \( a eq 1 \) 中。还需注意变形时 \( \frac{1-x}{2-x} = \frac{x-1}{x-2} \)，当 \( x=2 \) 时原式无意义，但变形后分子分母同时变号，没有改变 \( x eq 2 \) 的限制。综合：\( a < 5 \) 且 \( a eq 1 \)。但原方程还有一处隐含陷阱：在得到整式方程解 \( x = \frac{5-a}{2} \) 之前，我们去分母时乘了 \( x-2 \)，这意味着 \( x = \frac{5-a}{2} \) 有可能等于2从而成为增根，即当 \( a=1 \) 时，\( x=2 \) 是增根，原方程无解，与“解为正数”矛盾，所以 \( a eq 1 \) 必须排除。再考虑“解为正数”本身：\( \frac{5-a}{2} > 0 \Rightarrow a < 5 \)。所以答案是 \( a < 5 \) 且 \( a eq 1 \)。但更严格的，我们需要保证解出的 \( x \) 是正数且不是增根。已经排除了 \( a=1 \) 的情况。然而，原题中还有一项常数3，没有分母，所以主要限制来自 \( x-2 \) 和 \( 2-x \)。综上，答案为 \( a < 5 \) 且 \( a eq 1 \)。但常见错误是忽略 \( a eq 1 \)。另一种思路：原方程可化为 \( \frac{a}{x-2} - \frac{x-1}{x-2} = -3 \)，即 \( \frac{a - x + 1}{x-2} = -3 \)，去分母得 \( a - x + 1 = -3(x-2) \)，解得 \( x = \frac{5-a}{2} \)。要求 \( x>0 \) 且 \( x eq 2 \)，所以 \( \frac{5-a}{2} > 0 \) 且 \( \frac{5-a}{2} eq 2 \)，解得 \( a < 5 \) 且 \( a eq 1 \)。故答案为 \( a < 5 \) 且 \( a eq 1 \)。
3. \( x = 2 \) 和 \( x = -2 \)**。解析：原方程分母为 \( x^2-4 \) 和 \( x-2 \)。\( x^2-4 = (x-2)(x+2) \)。最简公分母为 \( (x-2)(x+2) \)。令其为0，得 \( x=2 \) 或 \( x=-2 \)。这两个值必须排除。
4. 最简公分母是 \( x-2 \) ，需要注意的是 \( \frac{1-x}{2-x} \) 项的符号变化。 解析：方程 \( \frac{1}{x-2} = \frac{1-x}{2-x} - 3 \)。注意到 \( 2-x = -(x-2) \)，所以 \( \frac{1-x}{2-x} = \frac{x-1}{x-2} \)。因此，方程可化为 \( \frac{1}{x-2} = \frac{x-1}{x-2} - 3 \)，此时各项分母相同，最简公分母就是 \( x-2 \)。去分母时，右边第二项“-3”是整数，不要漏乘。
5. \( \frac{S}{x} \times (1 + \frac{1}{6}) = \frac{S}{x+5} \) 或等价形式 \( \frac{S}{x} - \frac{S}{x+5} = \frac{1}{6} \times \frac{S}{x} \)**。解析：设路程为 \( S \)。原时间 \( \frac{S}{x} \)，提速后时间 \( \frac{S}{x+5} \)。时间节省 \( \frac{1}{6} \)，即现时间是原时间的 \( (1 - \frac{1}{6}) = \frac{5}{6} \)。所以方程为 \( \frac{S}{x+5} = \frac{5}{6} \times \frac{S}{x} \)。或基于时间差列式：\( \frac{S}{x} - \frac{S}{x+5} = \frac{1}{6} \times \frac{S}{x} \)。（设 \( S=1 \) 亦可）