初二数学期末急救：分式有意义的条件易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 函数 \(y = \frac{|x|-1}{x-1}\) 中，自变量 \(x\) 的取值范围是？

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：看到分子 \(|x|-1\)，认为其不能为0，所以得出 \(|x| eq 1\)，即 \(x eq 1\) 且 \(x eq -1\)。

✅ 阿星解析：

1. 阿星提醒：只看地基（分母）！ 房子（分式）是否有意义，只取决于分母 \((x-1)\) 是否为零。
2. 令分母为0：\(x-1=0\)，解得 \(x=1\)。
3. 所以，当 \(x=1\) 时，地基塌方，分式无意义。
4. 因此，自变量 \(x\) 的取值范围是 \(x eq 1\)。至于分子 \(|x|-1\)，它爱等于几等于几，就算等于0，分式也是有意义的（只不过此时分式值为0）。

结论：\(x\) 的取值范围是 \(x eq 1\)。

【易错题2：思维陷阱】 要使分式 \(\frac{1}{\frac{1}{x} - 1}\) 有意义，\(x\) 应满足什么条件？

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：只考虑最外层分母 \(\frac{1}{x} - 1 eq 0\)，解得 \(x eq 1\)。

✅ 阿星解析：

1. 这是一个“分式中的分式”。我们需要确保整个分式大厦的每一层地基都不塌。
2. 首先，最里层分式 \(\frac{1}{x}\) 要有意义，它的分母 \(x eq 0\)。这是第一层地基。
3. 然后，整个分式 \(\frac{1}{\frac{1}{x} - 1}\) 要有意义，它的分母 \(\frac{1}{x} - 1 eq 0\)。这是第二层地基。
4. 解 \(\frac{1}{x} - 1 = 0\)，得 \(\frac{1}{x} = 1\)，即 \(x = 1\)。
5. 所以，必须同时满足：\(x eq 0\)（保证里层有意义）且 \(x eq 1\)（保证外层有意义）。

结论：\(x eq 0\) 且 \(x eq 1\)。

【易错题3：大题陷阱】 已知一个长方形的面积为 \(10 \text{ cm}^2\)，它的长比宽多 \(a \text{ cm}\)。

1. 用含 \(a\) 的代数式表示长方形的宽 \(w\)。
2. 请问当 \(a\) 满足什么条件时，这个表达式才有实际意义？请结合几何图形解释。

下面我们用图形来理解：

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：

• 第(1)问：设宽为 \(w\)，则长为 \(w+a\)。由面积 \(w(w+a)=10\)，解得 \(w = \frac{10}{w+a}\)，陷入循环。正确应是解关于 \(w\) 的方程。
• 第(2)问：只考虑代数意义，得出 \(w+a eq 0\)，即 \(a eq -w\)，没有结合实际背景给出 \(a\) 的具体范围。

✅ 阿星解析：

1. 设宽为 \(w \text{ cm}\)，则长为 \((w+a) \text{ cm}\)。根据面积公式：\(w(w+a) = 10\)。
2. 这不是分式，而是一元二次方程。将其变形为关于 \(w\) 的表达式：\(w^2 + a w - 10 = 0\)。解得 \(w = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 40}}{2}\)。由于宽度 \(w > 0\)，我们必须取正根，且根号内非负：\(w = \frac{-a + \sqrt{a^2 + 40}}{2}\)。但题目要求用含 \(a\) 的代数式表示 \(w\)，从面积公式 \(w(w+a)=10\) 直接可得：\(w = \frac{10}{w+a}\) 是错的，因为右边仍有 \(w\)。正确做法是从 \(w(w+a)=10\) 解出 \(w\)，得到上述带根号的式子。但更符合初中认知的答案是：由面积得 \(w = \frac{10}{w+a}\)，但这样写不出只含 \(a\) 的式子。所以更常见的考法是：长方形的宽可以表示为 \(w = \frac{10}{a + w}\) 吗？不可以，因为这不是代数式。实际上，宽 \(w\) 满足方程，表达式本身是隐含的。 但题目若问“用含 \(a\) 的式子表示宽”，更常见的处理是：由 \(w = \frac{10}{w+a}\) 可知，要表示 \(w\)，需要知道它是一个分式形式的方程的解。但为简化，我们通常考虑长的表达式：长 = \(w+a = ?\)。从 \(w(w+a)=10\) 可得 \(w+a = \frac{10}{w}\)，同样问题。所以这类题常直接问：宽 \(w\) 应满足的条件？
3. 让我们重新聚焦第(2)问的“实际意义”。表达式 \(w = \frac{10}{w+a}\) 是从 \(w(w+a)=10\) 变形来的，但它不是一个定义宽的分式，而是一个等式。题目想问的“表达式”可能是指“用长和面积表示宽”的想法。从实际问题看，宽 \(w\) 必须为正数，长 \(w+a\) 也必须为正数。
   • 由 \(w > 0\) 且 \(w+a > 0\)，以及 \(w(w+a)=10 > 0\)。
   • 因为 \(w>0\)，要保证 \(w(w+a)=10>0\)，必须 \(w+a > 0\)，即 \(a > -w\)。
   • 但由于 \(w\) 本身依赖于 \(a\)，这个条件不好直接用 \(a\) 表示。更本质的条件来自方程 \(w^2 + aw - 10 = 0\) 有正根。
   • 判别式 \(\Delta = a^2 + 40 > 0\) 恒成立，所以总有实数解。
   • 两根之积为 \(-10 < 0\)，说明两根一正一负。因此方程始终有一个正根和一个负根。所以对于任何实数 \(a\)，总存在一个正的 \(w\) 满足条件。
   • 但结合实际，长 \(w+a\) 也必须为正。设正根为 \(w_0\)，则需 \(w_0 + a > 0\)。由求根公式，正根 \(w_0 = \frac{-a + \sqrt{a^2+40}}{2}\)。代入 \(w_0 + a = \frac{a + \sqrt{a^2+40}}{2} > 0\) 恒成立（因为 \(\sqrt{a^2+40} > |a| \geq -a\)）。
   • 因此，从纯数学角度看，对任意实数 \(a\)，总存在唯一正宽 \(w\) 和正长。但题目可能期望的“实际意义”是：在列出关系式 \(w = \frac{10}{w+a}\) 时，分母 \(w+a\)（即长）不能为0。但这在面积正的情况下自然满足。所以本题陷阱在于：表达式本身是方程，不是分式。若题目明确“分式 \(\frac{10}{w+a}\) 表示宽”，则需 \(w+a eq 0\)。但结合背景 \(w>0, w+a>0\)，这自动满足。所以最终，\(a\) 可以取任何实数，宽和长都会是正的。但学生常会忽略 \(w\) 和 \(a\) 的相互制约，只写出 \(a eq -w\)。

阿星总结：这道题把分式有意义的概念放到了实际应用题中，并和方程、几何背景结合，陷阱很深！关键是要认识到：

• “表达式有意义”首先要能写出一个明确的表达式。本题中宽 \(w\) 并不能写成只含 \(a\) 的简单分式。
• 如果题目指的是“从面积公式 \(w=\frac{10}{w+a}\) 来考虑”，那么“有意义”就是指分母 \(w+a eq 0\)。但结合实际问题（长度为正），这要求 \(w+a > 0\)，即 \(a > -w\)。这不是一个只关于 \(a\) 的独立条件。
• 所以，在应用题中考虑“有意义”，必须同时满足代数意义（分母不为0）和实际意义（如长度、宽度为正数）。本题经分析，对于任何实数 \(a\)，总存在符合条件的正宽和正长，因此 \(a\) 可取任意实数。但学生极易漏掉对“正数”的讨论。