初二数学期末急救：分式应用题（工作效率）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 一项工作，甲单独做比乙单独做少用2小时。如果甲、乙合作2小时后，由乙单独再做1小时，正好完成全部工作的 \(\frac{11}{12}\)。求甲、乙单独完成这项工作各需多少小时？

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：设甲需要 \(x\) 小时，则乙需要 \(x-2\) 小时。错误根源：把“甲比乙少用2小时”理解成了乙的时间更短。

✅ 阿星解析：

1. 正确设元：设甲单独完成需要 \(x\) 小时，则乙单独完成需要 \(x+2\) 小时（因为甲用的时间少）。
2. 表示效率：甲的工作效率为 \(\frac{1}{x}\)，乙的工作效率为 \(\frac{1}{x+2}\)。
3. 分析工作量：“甲、乙合作2小时”的工作量为：\(2 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2})\)。“乙单独再做1小时”的工作量为：\(1 \times \frac{1}{x+2}\)。两者相加等于 \(\frac{11}{12}\)。
4. 列方程： \(2(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2}) + \frac{1}{x+2} = \frac{11}{12}\)。
5. 解方程并检验：解这个分式方程，得到 \(x=4\) 或 \(x=-\frac{12}{11}\)（舍去）。所以甲需要4小时，乙需要 \(4+2=6\) 小时。

我们用下面的进度条来理解不同阶段的工作量构成：

如图所示，红色虚线左边两部分（蓝色和粉色）加起来是完成的 \(\frac{11}{12}\)。

【易错题2：思维陷阱】 某工厂计划生产2400个零件，由于技术改进，实际每天生产的零件比原计划多50%，结果提前4天完成任务。问原计划每天生产多少个零件？

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：设原计划每天生产 \(x\) 个，则实际每天生产 \(x+0.5\) 个。错在把“多50%”当成了“多0.5个”，这是典型的百分比与具体数值混淆。

✅ 阿星解析：

1. 正确设元：设原计划每天生产 \(x\) 个。
2. 正确表示“多50%”：“多50%”意味着效率是原来的 \((1+50\%)=1.5\) 倍。所以实际每天生产 \(1.5x\) 个。
3. 找等量关系（时间差）：原计划时间 \(-\) 实际时间 \(= 4\) 天。
4. 列方程：原计划时间：\(\frac{2400}{x}\) 天；实际时间：\(\frac{2400}{1.5x}\) 天。
   方程为：\(\frac{2400}{x} - \frac{2400}{1.5x} = 4\)。
5. 解方程：解得 \(x=200\)。经检验，\(x=200\) 是原方程的解且符合题意。答：原计划每天生产200个。

上图清晰展示了“工作量相同，效率提高导致时间缩短”，红色虚线标出的长度代表“提前的4天”这个关键的等量关系。

【易错题3：大题陷阱】 甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程。甲队单独施工比乙队单独施工多用10天完成，且乙队每天的施工费用比甲队少300元。甲、乙两队合作施工，24天可以完成，共需费用54万元。

（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？

（2）若由一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选哪个工程队？请说明理由。

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：

• 第（1）问：只设了一个未知数，试图同时表示时间和效率，关系混乱。或者列方程时，合作效率直接加为 \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = 24\)，忘记了合作效率之和应等于 \(\frac{1}{24}\)。
• 第（2）问：比较费用时，只比较了每天的费用，没有比较总费用。或者计算总费用时，用错了单独完成的天数。

✅ 阿星解析：

（1）求单独完成天数

1. 设元：设乙队单独完成需要 \(x\) 天，则甲队单独完成需要 \(x+10\) 天。
2. 表示效率：甲队效率：\(\frac{1}{x+10}\)；乙队效率：\(\frac{1}{x}\)。
3. 利用合作条件列方程：两队合作24天完成，即合作效率为 \(\frac{1}{24}\)。
   方程为：\(\frac{1}{x+10} + \frac{1}{x} = \frac{1}{24}\)。
4. 解方程：去分母解得 \(x^2 - 38x - 240 = 0\)，即 \((x-48)(x+10)=0\)。解得 \(x_1=48, x_2=-10\)（舍去）。所以乙队单独需48天，甲队单独需 \(48+10=58\) 天。

（2）比较总费用

1. 求每天费用：设甲队每天费用为 \(y\) 元，则乙队每天费用为 \(y-300\) 元。
2. 利用合作总费用列方程：合作24天，总费用54万元=540000元。
   方程为：\(24[y + (y-300)] = 540000\)。
3. 解方程：解得 \(48y - 7200 = 540000\)，进而 \(48y=547200\), \(y=11400\)。所以甲队每天11400元，乙队每天 \(11400-300=11100\) 元。
4. 计算单独完成总费用：
   • 甲队总费用：\(11400 \times 58 = 661200\) (元)
   • 乙队总费用：\(11100 \times 48 = 532800\) (元)
5. 结论：\(532800 < 661200\)，所以从节约资金角度，应选择乙队单独完成。

上图左侧梳理了复杂的条件，右侧通过柱状图直观对比了两队单独完成的总费用（柱高代表天数，填充区域高度大致代表总费用），清晰看出乙队（绿色）更节约。