初二数学期末急救：分式的通分易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：分式的通分 的核心避坑原理

• 概念重塑：大家好，我是阿星！通分就像给几个分式“找共同的家”——这个“家”就叫最简公分母。很多同学一看到分母不一样，就想把它们乘起来，这样找的“家”又大又复杂，容易迷路！比如 \(\frac{1}{x-1}\) 和 \(\frac{1}{1-x}\)，你如果直接乘 \((x-1)(1-x)\) 作为公分母，那就掉坑里了。因为 \(1-x\) 其实是 \(-(x-1)\)，它们俩是互为相反数的孪生兄弟！你只需要把第二个分式的分子分母同乘以 \(-1\)，它的分母就变成 \(x-1\) 了。这时你再看，最简公分母不就是清爽的 \(x-1\) 吗？
• 避坑口诀：阿星送你一句口诀，做题前先默念：“看到分式要通分，先找公母看仔细；最简公母是目标，分解因式是地基；互为相反莫慌张，负号提到分数线。”

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：认为分母 \((x-a)\) 和 \((a-x)\) 是两个不同的因式，因此最简公分母是它们的乘积 \((x-a)(a-x)\)。
  → ✅ 正解：它们互为相反数，满足 \((a-x) = -(x-a)\)。处理时，通常将负号调整到分式前面或分子上，使分母统一为 \((x-a)\) 或 \((a-x)\) 中的一个。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：面对复杂多项式分母（如 \(x^2 - 4\) 和 \(2-x\)），没有先进行因式分解，直接找公分母，导致最简公分母不是“最简”的。
  → ✅ 正解：通分第一步，永远是将每个分母因式分解！\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)，\(2-x=-(x-2)\)。这样才能看清公共部分 \((x-2)\)，最简公分母应为 \((x+2)(x-2)\)。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：找到了最简公分母，但在给分子“扩倍”时，只乘了部分项，尤其是当分子是多项式时，漏乘、符号出错是家常便饭。
  → ✅ 正解：分子是多项式时，一定要添加括号作为一个整体进行乘法运算，然后再去括号化简。例如，将 \(\frac{x}{x-2}\) 化成分母为 \((x-2)(x+1)\) 时，分子应是 \(x(x+1)\)，而不是 \(x \cdot x+1\)。

🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 分式 \(\frac{1}{x-y}\) 与 \(\frac{1}{y-x}\) 的最简公分母是 \((x-y)(y-x)\)。 （ ）
2. 通分 \(\frac{a}{a^2-b^2}\) 和 \(\frac{b}{b-a}\) 时，最简公分母是 \(a^2-b^2\)。 （ ）
3. 将 \(\frac{1}{x-2}\) 化成分母为 \(4-x^2\) 的分式，结果是 \(\frac{-x-2}{4-x^2}\)。 （ ）
4. 分式 \(\frac{2m}{m^2-9}\) 与 \(\frac{1}{3-m}\) 的最简公分母是 \((m+3)(m-3)\)。 （ ）
5. 计算 \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)，通分后直接写结果为 \(\frac{1}{xy}\)。 （ ）

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. \(\frac{1}{2x-6}\) 与 \(\frac{x}{9-3x}\) 的最简公分母是______。
2. 通分：\(\frac{y}{y^2-1} = \frac{\qquad}{(y+1)(y-1)}\)； \(\frac{2}{1-y} = \frac{\qquad}{(y+1)(y-1)}\)。
3. 化简：\(\frac{3}{a-b} - \frac{2}{b-a} = \) ______。
4. 若 \(\frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1} = \frac{4x}{(x-3)(x+1)}\)，则常数 \(A = \) ______， \(B = \) ______。
5. 已知 \(x e \pm 1\)，则 \(\frac{1}{x^2-1} - \frac{2}{1-x} = \) ______。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ❌ 错。解析：\(y-x = -(x-y)\)，最简公分母应为 \(x-y\)。
2. ❌ 错。解析：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)，\(b-a=-(a-b)\)。最简公分母应为 \((a+b)(a-b)\)。
3. ❌ 错。解析：\(4-x^2 = (2+x)(2-x)=-(x+2)(x-2)\)。\(\frac{1}{x-2}=\frac{- (x+2)}{-(x+2)(x-2)} = \frac{-x-2}{-(x^2-4)} = \frac{x+2}{x^2-4}\)。原说法分子符号错误。
4. ✅ 对。解析：\(m^2-9=(m+3)(m-3)\)，\(3-m=-(m-3)\)，最简公分母是 \((m+3)(m-3)\)。
5. ❌ 错。解析：\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}\)。

第二关：防坑演练

1. \(6(x-3)\) 或 \(6(3-x)\)。解析：\(2x-6=2(x-3)\)，\(9-3x=3(3-x)=-3(x-3)\)。系数最小公倍数 \(6\)，因式取 \((x-3)\)。最简公分母为 \(6(x-3)\)。也可统一符号写 \(6(3-x)\)。
2. \(y\)； \(-2(y+1)\)。解析：\(\frac{y}{y^2-1}=\frac{y}{(y+1)(y-1)}\)。\(\frac{2}{1-y}=\frac{2}{-(y-1)}=\frac{-2}{y-1}=\frac{-2(y+1)}{(y-1)(y+1)}\)。
3. \(\frac{5}{a-b}\)。解析：\(\frac{3}{a-b} - \frac{2}{b-a} = \frac{3}{a-b} - \frac{2}{-(a-b)} = \frac{3}{a-b} + \frac{2}{a-b} = \frac{5}{a-b}\)。
4. \(A=3, B=1\)。解析：左边通分：\(\frac{A(x+1)+B(x-3)}{(x-3)(x+1)} = \frac{(A+B)x + (A-3B)}{(x-3)(x+1)}\)。与右边对比得方程组：\(\begin{cases} A+B=4 \ A-3B=0 \end{cases}\)，解得 \(A=3, B=1\)。
5. \(\frac{2x+3}{(x+1)(x-1)}\) 或 \(\frac{2x+3}{x^2-1}\)。解析：\(\frac{1}{(x+1)(x-1)} - \frac{2}{-(x-1)} = \frac{1}{(x+1)(x-1)} + \frac{2}{x-1} = \frac{1}{(x+1)(x-1)} + \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{1+2x+2}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x+3}{x^2-1}\)。