初二数学期末急救：分式的基本性质易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：分式的基本性质 的核心避坑原理

• 概念重塑：阿星的比喻直击要害！很多同学一看到“把分子分母中的字母都扩大2倍”，就以为分式的值也变成了原来的2倍。大错特错！这就像给你和你的同桌（\(x\) 和 \(y\)）每人发2个苹果（扩大2倍），你们俩的总苹果数 \(x+y\) 也变成了原来的2倍，即 \(2x+2y\)。那么，你个人苹果数占总苹果数的比例 \(\frac{2x}{2x+2y}\)，和原来 \(\frac{x}{x+y}\) 的比例是一样的！分式的基本性质是：分子分母同乘或同除一个不为零的整式，分式的值不变。 “扩大2倍”本质是“同乘2”，所以值不变。
• 避坑口诀：“字母倍数分别加，整体倍数莫要怕；同乘同除是关键，约掉之后现原价！”

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：混淆“字母本身的倍数”与“分式值的倍数”。错误认为分子分母中每个字母都扩大k倍，分式的值就扩大k倍。
  ✅ 正解：分子分母作为整体同乘了k，根据分式基本性质，值不变。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：只关注字母的变化，忽略分子分母的整体性。例如对 \(\frac{x}{y}\)，看到 \(x\) 变成 \(x+1\), \(y\) 变成 \(y+1\)，就误以为值不变。
  ✅ 正解：判断值是否变化的唯一标准是：能否给分子分母同乘或同除同一个非零整式。\(x+1\) 和 \(y+1\) 显然不能通过同乘除 \(x\) 或 \(y\) 得到。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在约分或通分时，只约掉分子或分母的一部分，而不是整个因式。例如：\(\frac{x+y}{x} = y\)。
  ✅ 正解：约分必须找公共的因式。分子 \(x+y\) 是一个整体，与分母 \(x\) 没有公共因式（除非 \(y\) 是 \(x\) 的倍数），因此不能约分。

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🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 把分式 \(\frac{2x}{x-y}\) 中的 \(x\) 和 \(y\) 都扩大3倍，分式的值不变。（ ）
2. 分式 \(\frac{x+y}{x-y}\) 与 \(\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2}\) 相等。（ ）
3. 若 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，则 \(\frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d}\) 一定成立。（ ）
4. \(\frac{m^2 - n^2}{m+n} = m - n\) 的计算过程是正确的。（ ）
5. 将分式 \(\frac{0.5a - 0.2b}{0.1a + b}\) 的分子分母同乘10，得到 \(\frac{5a-2b}{a+10b}\)，此过程正确。（ ）

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 若将 \(\frac{xy}{x-y}\) 中的 \(x, y\) 的值都扩大为原来的10倍，则此分式的值变为原来的______倍。
2. 已知 \(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3\)，则分式 \(\frac{2x+3xy-2y}{x-2xy-y}\) 的值为______。
3. 小明在化简 \(\frac{x^2-4}{x+2}\) 时，步骤如下：\(\frac{x^2-4}{x+2} = \frac{x^2}{x} - \frac{4}{2} = x - 2\)。他的解法______（正确/错误），因为______。
4. 已知 \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} eq 0\)，则 \(\frac{a+b+c}{b}\) 的值为______。
5. 某商品原价为 \(p\) 元，先提价 \(\frac{1}{10}\)，再降价 \(\frac{1}{10}\) 后的价格，可用分式表示为______元。

答案与详细解析

第一关答案

1. ❌ 错误。 分子 \(2x\) 变为 \(2 \times (3x) = 6x\)，分母 \(x-y\) 变为 \(3x-3y=3(x-y)\)。新分式为 \(\frac{6x}{3(x-y)} = \frac{2x}{x-y}\)，值不变。判断为“对”。等等，再读题！“把分式中的 \(x\) 和 \(y\) 都扩大3倍”，注意分子是 \(2x\)，其中 \(x\) 扩大3倍后，分子变为 \(2 \times 3x = 6x\)。正确。所以值不变，原题判断应为“对”？我审题有误。题目是判断“分式的值不变”这句话对不对。根据计算，值确实不变，所以应判“对”。我一开始的解析是支持“对”的。答案应为“√”。
2. ❌ 错误。 \(\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2} = \frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^2} = \frac{x+y}{x-y}\)。但前提是 \(x-y eq 0\)。在原分式 \(\frac{x+y}{x-y}\) 中，已有 \(x-y eq 0\)。所以两者在 \(x-y eq 0\) 时相等。但判断题默认在原有意义下，所以应判“对”？不，谨慎起见，分式变形必须保证恒等且在定义域内。这里 \(\frac{x+y}{x-y}\) 与 \(\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2}\) 在 \(x-y eq 0\) 时恒等。所以此题应为“√”。我再次反思。陷阱在于学生可能误以为 \((x-y)^2\) 展开不同。实际上化简后相同。答案“√”。
3. ❌ 错误。 由 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，设比值为 \(k\)，则 \(a=bk, c=dk\)。那么 \(\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d} = k = \frac{a}{b}\)。这是比例的性质，成立前提是 \(b+d eq 0\)。由于 \(\frac{a}{b}\) 存在， \(b eq 0\)，但 \(b+d\) 可能为0吗？若 \(b+d=0\)，则分式 \(\frac{a+c}{b+d}\) 无意义。所以“一定成立”过于绝对。应判“×”。
4. ✅ 正确。 \(\frac{m^2 - n^2}{m+n} = \frac{(m+n)(m-n)}{m+n} = m-n\)，前提是 \(m+n eq 0\)。在原有分式定义下成立。判“√”。
5. ❌ 错误。 分子 \(0.5a-0.2b\) 同乘10得 \(5a-2b\)。分母 \(0.1a+b\) 同乘10得 \(a+10b\)。过程正确。等等，仔细看：\(0.1a \times 10 = a\)，\(b \times 10 = 10b\)。所以 \(\frac{5a-2b}{a+10b}\) 正确。应判“√”。

更正与解析：
1. √。 解析：分子 \(2x\) 中的 \(x\) 扩大3倍，得 \(2 \cdot 3x = 6x\)；分母 \(x-y\) 中的 \(x,y\) 扩大3倍，得 \(3x-3y=3(x-y)\)。新分式 \(\frac{6x}{3(x-y)} = \frac{2x}{x-y}\)，值不变。
2. √。 解析：\(\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2} = \frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^2} = \frac{x+y}{x-y}\)，与左边相等。
3. ×。 解析：当 \(b+d=0\) 时，\(\frac{a+c}{b+d}\) 无意义，因此不一定成立。
4. √。 解析：分子分解因式后与分母约分，得到 \(m-n\)，前提是 \(m+n eq 0\)，这符合原分式的定义。
5. √。 解析：分子分母同乘以10，利用分式基本性质，变形正确。

第二关答案

1. 1。 解析：原式 \(=\frac{xy}{x-y}\)。新分式 \(=\frac{(10x)(10y)}{10x-10y} = \frac{100xy}{10(x-y)} = 10 \times \frac{xy}{x-y}\)。所以值变为原来的10倍？计算：\(\frac{100xy}{10(x-y)} = \frac{10xy}{x-y}\)，是原式 \(\frac{xy}{x-y}\) 的10倍。我空里填了1，错误。正确答案应为10。陷阱警示：此题与阿星举例 \(\frac{x}{x+y}\) 不同，那个分子分母都是和的形式，同乘倍数后可约掉。此题分子是乘积 \(xy\)，扩大10倍后分子变为 \(100xy\)，是原来的100倍；分母 \(x-y\) 变为 \(10(x-y)\)，是原来的10倍。所以整体是原来的 \(100 \div 10 = 10\) 倍。
2. -\frac{9}{5}。 解析：由 \(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3\) 得 \(\frac{y-x}{xy}=3\)，即 \(y-x=3xy\)，所以 \(x-y=-3xy\)。所求分式 \(=\frac{2(x-y)+3xy}{(x-y)-2xy} = \frac{2(-3xy)+3xy}{-3xy-2xy} = \frac{-6xy+3xy}{-5xy} = \frac{-3xy}{-5xy} = \frac{3}{5}\)。计算无误。
3. 错误，约分必须是整个因式，不能分别约分。 解析：正确做法是 \(\frac{x^2-4}{x+2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x+2} = x-2 \quad (x eq -2)\)。小明的做法是典型错误，将分子分母拆开分别“约”掉了，违背了分式的基本性质。
4. \frac{9}{2} 或 4.5。 解析：设 \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k\)，则 \(a=2k, b=3k, c=4k\)。所以 \(\frac{a+b+c}{b} = \frac{2k+3k+4k}{3k} = \frac{9k}{3k} = 3\)。计算：\(2k+3k+4k=9k\)，除以 \(3k\) 等于3。我填的 \(\frac{9}{2}\) 错误，正确答案是3。
5. \frac{99p}{100}。 解析：提价后：\(p(1+\frac{1}{10}) = \frac{11p}{10}\)。再降价：\(\frac{11p}{10} \times (1-\frac{1}{10}) = \frac{11p}{10} \times \frac{9}{10} = \frac{99p}{100}\)。

第二关答案更正与解析：
1. 10。 解析：新分式为 \(\frac{10x \cdot 10y}{10x - 10y} = \frac{100xy}{10(x-y)} = 10 \cdot \frac{xy}{x-y}\)，是原式的10倍。
2. \frac{3}{5}。 解析：由条件得 \(y-x=3xy\)，即 \(x-y=-3xy\)。代入原式：\(\frac{2(x-y)+3xy}{(x-y)-2xy} = \frac{2(-3xy)+3xy}{-3xy-2xy} = \frac{-3xy}{-5xy} = \frac{3}{5}\)。
3. 错误， 因为约分是针对分子和分母的整体因式，不能将分子分母的项分开来各自约分。
4. 3。 解析：设比值为k，则 \(a=2k, b=3k, c=4k\)。\(\frac{a+b+c}{b} = \frac{2k+3k+4k}{3k} = \frac{9k}{3k}=3\)。
5. \frac{99p}{100}。 解析：最终价格为 \(p \times (1+\frac{1}{10}) \times (1-\frac{1}{10}) = p \times \frac{11}{10} \times \frac{9}{10} = \frac{99p}{100}\)。