初二数学期末急救：解分式方程（去分母符号）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：解分式方程（去分母符号）的核心避坑原理

• 概念重塑：记住阿星的比喻——这是一场“变号危机”！分式就像一个个“小团队”，分母是“团队的标志”。当你为了让所有“团队标志”统一（找最简公分母）时，如果某个“标志” \( (2-x) \) 需要变成 \( (x-2) \)，这相当于整个“小团队”集体转身180度！那么，站在这个团队前面的“符号队长”（也就是分数前的正负号）也必须跟着转身！所以，\( -\frac{2}{2-x} \) 中，分母 \( (2-x) \) 变成 \( (x-2) \) 时，等价于整个分数乘以 \( -1 \)，从而变成 \( +\frac{2}{x-2} \)。忘记这一步，就是让“符号队长”掉队，方程就解错了。
• 避坑口诀： 分母变号，分数“戴帽”（变符号）；整体乘以负一，符号一定牢记！

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：认为 \( \frac{1}{x-2} \) 和 \( \frac{1}{2-x} \) 只是分母字母顺序不同，可以直接抵消或合并，忘记它们互为相反数，关系是 \( \frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2} \)。 → ✅ 正解：看到 \( a-b \) 和 \( b-a \)，立刻反应过来它们互为相反数，满足 \( b-a = -(a-b) \)。处理分式时，要将其中一个化为另一个，并同时改变整个分式前的符号。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：去分母时，只给“看起来不一样”的分式变号，而忽略了它前面的运算符号（尤其是负号或减号），导致符号连环错。例如，将 \( 1 - \frac{2}{2-x} \) 直接写成 \( 1 - \frac{2}{x-2} \)。 → ✅ 正解：把含有分母的部分看作一个整体。当分母 \( (2-x) \) 变成 \( (x-2) \) 时，整体 \( \frac{2}{2-x} \) 变成了 \( -\frac{2}{x-2} \）。因此，原式变为 \( 1 - (-\frac{2}{x-2}) = 1 + \frac{2}{x-2} \)。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：成功进行了变号，但在后续的乘法分配律去分母时，漏乘常数项或分子是多项式的项，或者忘记变号后的新符号参与运算。 → ✅ 正解：去分母时，方程两边每一项都必须乘以最简公分母。用“括号”保护多项式分子，然后逐项相乘，并特别注意符号的运算。

🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 方程 \( \frac{x}{5-x} = 2 \) 去分母时，可以两边直接乘以 \( x-5 \)。（ ）
2. \( \frac{3}{a-b} + \frac{2}{b-a} = \frac{1}{a-b} \)。（ ）
3. 解方程 \( \frac{1}{x-3} = \frac{2}{3-x} \) 时，右边分式直接变为 \( \frac{2}{x-3} \) 即可。（ ）
4. 若分式方程有增根，则这个增根一定是使“最简公分母”等于0的未知数的值。（ ）
5. 在方程 \( 1 - \frac{m}{x+1} = \frac{2x}{x+1} \) 中，去分母得到 \( (x+1) - m = 2x \)。（ ）

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 将方程 \( \frac{2}{x-1} - 3 = \frac{4}{1-x} \) 化为所有分母相同的方程是 \( \frac{2}{x-1} - \frac{\hspace{1em}}{\hspace{1em}} = \frac{\hspace{1em}}{\hspace{1em}} \)。
2. 方程 \( \frac{x}{x-2} - 1 = \frac{a}{2-x} \) 有增根，则 \( a = \) \_\_\_\_\_\_\_\_。
3. 若 \( \frac{1}{x-2} \) 与 \( \frac{3}{2-x} \) 的和为0，则 \( x = \) \_\_\_\_\_\_\_\_。
4. 解方程 \( \frac{2y}{y-4} + \frac{4}{4-y} = 1 \) 的解是 \( y = \) \_\_\_\_\_\_\_\_。
5. 已知关于 \( x \) 的方程 \( \frac{x}{x-5} = 3 - \frac{m}{5-x} \) 的解为正数，则 \( m \) 的取值范围是 \_\_\_\_\_\_\_\_。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ❌ 错误。 两边乘以 \( x-5 \) 相当于乘以 \( -(5-x) \)，右边会变成 \( 2 \cdot [-(5-x)] = -2(5-x) \)，计算复杂易错。应乘以 \( 5-x \)。
2. ✅ 正确。 \( \frac{2}{b-a} = \frac{2}{-(a-b)} = -\frac{2}{a-b} \)，所以左边 = \( \frac{3}{a-b} - \frac{2}{a-b} = \frac{1}{a-b} \)。
3. ❌ 错误。 \( \frac{2}{3-x} = \frac{2}{-(x-3)} = -\frac{2}{x-3} \)。直接变分母忘变号。
4. ✅ 正确。 增根的定义即是如此。
5. ❌ 错误。 去分母时，常数项1也必须乘以 \( (x+1) \)。正确应为：\( 1 \cdot (x+1) - m = 2x \)，即 \( x+1 - m = 2x \)。

第二关：防坑演练

1. 答案： \( \frac{2}{x-1} - \frac{3(x-1)}{x-1} = -\frac{4}{x-1} \) 或 \( \frac{2}{x-1} - \frac{3x-3}{x-1} = -\frac{4}{x-1} \)
   解析： \( -3 = -\frac{3(x-1)}{x-1} \)，右边 \( \frac{4}{1-x} = \frac{4}{-(x-1)} = -\frac{4}{x-1} \)。
2. 答案： \( a = -2 \)
   解析： 先化右边：\( \frac{a}{2-x} = -\frac{a}{x-2} \)。原方程为 \( \frac{x}{x-2} - 1 = -\frac{a}{x-2} \)，去分母 \( x - (x-2) = -a \) → \( 2 = -a \) → \( a = -2 \)。此时增根 \( x=2 \) 会使原方程分母为0。
3. 答案： \( x = 4 \)
   解析： \( \frac{1}{x-2} + \frac{3}{2-x} = 0 \) → \( \frac{1}{x-2} - \frac{3}{x-2} = 0 \) → \( -\frac{2}{x-2} = 0 \)，分式为0则分子为0，即 \( -2=0 \) 矛盾，看似无解？陷阱在此！ 正确解法：\( \frac{1}{x-2} = -\frac{3}{2-x} = \frac{3}{x-2} \) → \( \frac{1}{x-2} = \frac{3}{x-2} \) → 两边同乘 \( x-2 \) 得 \( 1=3 \)，仍然矛盾。所以原方程无解。本题考察对方程无解情况的判断，是一个思维陷阱。若填“无解”也可得分。
4. 答案： \( y = 0 \)
   解析： \( \frac{4}{4-y} = -\frac{4}{y-4} \)。原方程化为 \( \frac{2y}{y-4} - \frac{4}{y-4} = 1 \) → \( \frac{2y-4}{y-4} = 1 \)。去分母 \( 2y-4 = y-4 \) → \( y = 0 \)。检验：分母 \( y-4 = -4 eq 0 \)，是解。
5. 答案： \( m > -10 \) 且 \( m eq -5 \)
   解析： 化右边 \( -\frac{m}{5-x} = \frac{m}{x-5} \)。原方程为 \( \frac{x}{x-5} = 3 + \frac{m}{x-5} \)。去分母 \( x = 3(x-5) + m \) → \( x = 3x - 15 + m \) → \( -2x = -15 + m \) → \( x = \frac{15 - m}{2} \)。由解为正数得 \( \frac{15 - m}{2} > 0 \) → \( 15 - m > 0 \) → \( m < 15 \)。同时，解不能是增根 \( x=5 \)，即 \( \frac{15 - m}{2} eq 5 \) → \( 15 - m eq 10 \) → \( m eq 5 \)。所以综合为 \( m < 15 \) 且 \( m eq 5 \)。等等，再检查！ 第一步变号：\( 3 - \frac{m}{5-x} = 3 + \frac{m}{x-5} \)，正确。但去分母后方程是 \( x = 3(x-5) + m \)，解得 \( x = \frac{15 - m}{2} \)。由 \( x>0 \) 得 \( m < 15 \)。增根 \( x=5 \) 代入得 \( 5 = (15-m)/2 \) → \( m=5 \)。所以 \( m eq 5 \)。最终答案为 \( m < 15 \) 且 \( m eq 5 \)。（原答案有误，已更正）