一张纸对折42次到月球？阿星带你引爆「指数爆炸」思维！：典型例题精讲

💡 阿星精讲：指数爆炸 的本质

想象一下，你手里有一张厚度约为 \(0.1 \text{mm}\) 的A4纸。对折一次，厚度变成 \(0.2 \text{mm}\)；对折两次，\(0.4 \text{mm}\)——这看起来平平无奇，完全符合我们的线性直觉。但请继续：对折 \(10\) 次，厚度约为 \(0.1 \times 2^{10} = 102.4 \text{mm}\)，也就是大约10厘米，一本字典的厚度。对折 \(23\) 次，厚度超过 \(1\) 公里；对折 \(42\) 次，厚度就能抵达月球！这就是指数爆炸的恐怖之处：函数 \(y = a^x \ (a>1)\) 的增长速度，在后期会呈摧枯拉朽之势，彻底击碎我们基于“一次加一点”的线性认知。它的核心特征是：底数不变，指数（往往与时间、步骤相关）作为变量在增长，每次增长都带来“翻倍式”的累积效应。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： \(3\) 小时后细菌总数为 \(512\) 个。

变式一解析：
每小时总数变为原来的 \(4\) 倍（底数为 \(4\)），初始 \(A_0=1\)，经过 \(t=5\) 小时。
感染总数 \(A = 1 \times 4^5 = 1024\)。
答案： \(1024\) 台。

变式二解析：
对折 \(n\) 次后厚度为：\(0.05 \times 2^n \ \text{mm}\)。
超过 \(10 \text{cm} = 100 \text{mm}\)，即 \(0.05 \times 2^n > 100\)。
解得 \(2^n > 2000\)。估算：\(2^{10}=1024\), \(2^{11}=2048 > 2000\)。
答案： 最小整数 \(n = 11\)。

变式三解析：
需要解不等式 \(2 \times 3^t > 64 \times 2^t\)。
两边同时除以 \(2 \times 2^t\) 得：\(\frac{3^t}{2^t} > 32\)，即 \((\frac{3}{2})^t > 32\)。
两边取常用对数：\(t \cdot \lg(\frac{3}{2}) > \lg 32\)。
\(\lg(\frac{3}{2}) \approx 0.1761\)， \(\lg 32 = 5\lg2 \approx 1.5051\)。
解得 \(t > 1.5051 / 0.1761 \approx 8.55\)。
答案： \(9\) 小时后首次超过。