初三数学期末急救：二次函数实际应用（最大利润）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 某商品进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可卖出100件。市场调查发现：售价每降低1元，每天可多卖出10件。为了每天获得最大利润，售价应定为多少元？

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：设售价降低 \( x \) 元，利润为 \( y \) 元。则单件利润为 \( (60 - x - 40) = (20 - x) \) 元，销量为 \( (100 + 10x) \) 件。列式：\( y = (20 - x)(100 + 10x) = -10x^2 + 100x + 2000 \)。学生看到系数 \( b=100 \)，容易想当然地认为 \( x=100 \) 时利润最大。

✅ 阿星解析：

1. 正确列式已得：\( y = -10x^2 + 100x + 2000 \)。
2. 这里 \( x \) 是降低的钱数。求最大值，找顶点。\( a = -10, b = 100 \)。顶点横坐标 \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2 \times (-10)} = -\frac{100}{-20} = 5 \)。
3. 所以，当降价5元时，利润最大。此时售价为 \( 60 - 5 = 55 \) 元。
4. 警惕：题目问的是“售价”，不是“降价额”。最后一步转换必不可少！利润函数顶点对应的是降价5元，不是售价5元，也不是涨价。

图解：抛物线展示了利润随降价额的变化。红色虚线交点才是真正的顶点（最大值点），而右侧灰色的点（对应x=100）是错误的想法。记住，最大值在顶点，不一定在端点。

【易错题2：思维陷阱】 某网店销售一款商品，成本为20元/件。当销售单价为30元时，日销售量为500件。经测算，销售单价每上涨1元，日销售量减少20件。设销售单价上涨 \( x \) 元（\( x \) 为正整数），该商品的日销售利润为 \( y \) 元。网店要求日销售利润不低于8000元，求销售单价的取值范围。

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：学生能正确列出函数：单利 \( (30 + x - 20) = (10 + x) \) 元，销量 \( (500 - 20x) \) 件，则 \( y = (10 + x)(500 - 20x) = -20x^2 + 300x + 5000 \)。求出顶点 \( x_v = -\frac{300}{2\times(-20)} = 7.5 \)。因为 \( x \) 是整数，所以取 \( x=7 \) 或 \( x=8 \) 时利润最大（约为 \( y=6125 \) 元）。然后错误地解不等式 \( -20x^2 + 300x + 5000 \ge 8000 \)，发现无解，于是得出结论“无法达到8000元”。

✅ 阿星解析：

1. 关键陷阱：“日销售利润不低于8000元”是一个要求，但我们先要看看最大利润是多少。通过计算，最大利润约6125元，它本身就小于8000元。
2. 这意味着，无论单价怎么定，日利润都不可能达到8000元。题目中的“要求”成了一个空条件。
3. 所以，这道题的答案不是求一个范围，而是要下结论：该商品的日销售利润不可能达到8000元，或者说“不存在这样的销售单价”。
4. 避坑指南：遇到“不低于/不超过某值”求范围时，先确定函数的最值，看这个“某值”是否在函数值域内。如果不在，答案可能是“无解”或“全体实数”，而不是一个数值范围。

【易错题3：大题陷阱】 某工厂生产并销售某种产品，每件成本20元。调查发现：当售价为30元时，月销量为400件；售价每涨1元，月销量减少10件；售价每降1元，月销量增加20件。已知月库存成本（与产量相关）为 \( 0.5 \times (月销量) \) 元。设售价调整额为 \( x \) 元（上涨为正，下降为负）。

1. 求月利润 \( y \)（元）关于 \( x \)（元）的函数关系式。
2. 工厂希望月利润不低于6750元，求售价调整额 \( x \) 的取值范围。

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：

• 忽略“库存成本”，利润表达式列错。
• 未区分“涨价”和“降价”时销量变化规律不同，只用一个表达式。
• 第(2)问中，求出对称轴后，没有结合自变量的实际意义（售价、成本、销量非负）确定 \( x \) 的定义域，直接解不等式。

✅ 阿星解析：

1. 分段列式是关键！
   • 当 \( x \ge 0 \)（涨价或不变）时：售价 \( (30+x) \) 元，单件毛利润 \( (30+x-20) = (10+x) \) 元。销量 \( (400 - 10x) \) 件。库存成本 \( 0.5 \times (400 - 10x) \) 元。总利润：\( y_1 = (10+x)(400-10x) - 0.5(400-10x) = (10+x-0.5)(400-10x) = (9.5+x)(400-10x) = -10x^2 + 305x + 3800 \)。同时需满足 \( 400-10x \ge 0 \) 即 \( x \le 40 \)。
   • 当 \( x \le 0 \)（降价）时：售价 \( (30+x) \) 元，单件毛利润 \( (10+x) \) 元（注意，x为负）。销量 \( (400 - 20x) \) 件（因为x为负，-20x为正，销量增加）。库存成本 \( 0.5 \times (400 - 20x) \) 元。总利润：\( y_2 = (10+x)(400-20x) - 0.5(400-20x) = (10+x-0.5)(400-20x) = (9.5+x)(400-20x) = -20x^2 + 210x + 3800 \)。同时需保证售价 \( 30+x \ge 20 \)（不低于成本）即 \( x \ge -10 \)。
2. 求范围，先定最值，再结合定义域。
   • 对于涨价部分 \( y_1 = -10x^2 + 305x + 3800 \)，\( 0 \le x \le 40 \)。对称轴 \( x_{v1} = -\frac{305}{2\times(-10)} = 15.25 \)，在定义域内。最大值 \( y_{1max} \approx 6120.625 \)。
   • 对于降价部分 \( y_2 = -20x^2 + 210x + 3800 \)，\( -10 \le x \le 0 \)。对称轴 \( x_{v2} = -\frac{210}{2\times(-20)} = 5.25 \)，不在定义域 \( [-10, 0] \) 内。抛物线开口向下，所以在定义域内，\( x \) 越大，\( y_2 \) 越大。当 \( x=0 \) 时，\( y_2 = 3800 \)；当 \( x=-10 \) 时，\( y_2 = -20\times100 + 210\times(-10) + 3800 = -2000 -2100 + 3800 = -300 \)。
   • 综上，整个工厂的月利润最大值约为6120.625元（涨价15.25元时）。
   • 题目要求“月利润不低于6750元”，但我们的最大利润只有6120.625元 < 6750元。因此，无论如何调整售价，都无法使月利润达到或超过6750元。第(2)问的答案是：不存在这样的 \( x \) 值。