例题 1：基础巩固 —— 定义最简单的“空杯”

题目： 解方程 \( 5x - 7 = 3x + 5 \)，并检验。

📌 阿星解析：

1. 目标： 让所有含 \( x \) 的项聚集在天平一侧，常数项在另一侧。
2. 操作： 等式两边同时减去 \( 3x \)（移项）：\( 5x - 7 - 3x = 3x + 5 - 3x \) → \( 2x - 7 = 5 \)。
3. 操作： 等式两边同时加7：\( 2x - 7 + 7 = 5 + 7 \) → \( 2x = 12 \)。
4. 操作： 等式两边同时除以2：\( x = 6 \)。

✅ 检验： 把 \( x = 6 \) 代入原方程：
左边 = \( 5×6 - 7 = 30 - 7 = 23 \)
右边 = \( 3×6 + 5 = 18 + 5 = 23 \)
左边 = 右边，✓ 检验通过。

✅ 答案： \( x = 6 \)

例题 2：进阶挑战 —— 当“杯子”需要先清理时（去分母）

题目： 解方程 \( \frac{x-2}{3} - \frac{2x-1}{2} = 1 \)。

📌 阿星解析：

1. 痛点： 分母（3和2）就像杯壁上的刻度模糊不清，妨碍我们直接测量 \( x \)。第一步是去分母，让方程变“清爽”。
2. 操作： 找分母3和2的最小公倍数6。等式两边每一项都乘以6：
   $$ 6 × \frac{x-2}{3} - 6 × \frac{2x-1}{2} = 6 × 1 $$
   化简得：\( 2(x-2) - 3(2x-1) = 6 \)。
3. 操作： 去括号：\( 2x - 4 - 6x + 3 = 6 \)。
4. 操作： 合并同类项：\( -4x -1 = 6 \)。
5. 操作： 移项、求解：\( -4x = 7 \) → \( x = -\frac{7}{4} \)。

✅ 答案： \( x = -\frac{7}{4} \)

例题 3：逻辑判断 —— 识别“破杯子”与“大海”

题目： 关于 \( x \) 的方程 \( 3(x-2a) + 2 = x - (4a - 2) \) 的解是什么情况？

📌 阿星解析：

1. 这类题目的 \( x \) 是真正的“undefined”，而 \( a \) 是另一个参数。我们需要通过化简，看清 \( x \) 这个“杯子”的本质。
2. 操作： 先去括号，化简方程：
   $$ 3x - 6a + 2 = x - 4a + 2 $$
3. 操作： 将含 \( x \) 的项移到左边，常数和含 \( a \) 的项移到右边：
   $$ 3x - x = -4a + 2 + 6a - 2 $$
   $$ 2x = 2a $$
4. 分析： 得到 \( x = a \)。这意味着：
   • 只要 \( a \) 是一个确定的数，\( x \) 就有唯一解（杯子能被恰好装满）。
   • 它不可能出现无数解或无解的情况，因为 \( x \) 的系数最终是2，不是0。

✅ 答案： 方程总有唯一解 \( x = a \)。