方程设元秘诀：抓住“单位1未知”这个关键点｜小学数学图解指南：典型例题精讲
适用年级
五年级
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
🧮 方程破局术：当“单位1”消失时，如何设元解题？
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
你有没有遇到过这样的问题：“一桶水，用去三分之一，还剩80升，这桶水原有多少升？” 脑子里第一个冒出的问题是不是：“我该设谁为 x ？”
核心症结：单位1未知。 这里的“一桶水”就是那个整体的“1”，但它的大小是未知的。阿星告诉你一个万能钥匙：通常就设这个“单位1”为 x。 为什么？因为方程就像一架天平，我们需要找到“等量关系”。把最根本、最完整的那个量设为x，其他所有部分都能用这个x表示出来，等量关系就变得清晰无比。
👀 看图说话：未知的“总蛋糕”
关键点拨：看图，“整体”被分成了“用去的”和“剩下的”两部分。既然整个长方形（总量）未知，我们就给它贴上标签 x。那么，“用去的1/3”就可以表示为 (1/3)x 或 x/3。等量关系就藏在图中：总量 − 用去的 = 剩下的，即 x − x/3 = 80。看，方程自然而然就列出来了！那个容易被忽略的“隐形数字”就是 代表整体的“1”，它隐身了，所以我们用x来让它现身。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】一桶水，用去三分之一，还剩80升。这桶水原有多少升？
阿星的显微镜
1. 找“单位1”：“用去三分之一”是相对于“整桶水”的。所以，“整桶水”是单位1，它未知。
2. 设元：设整桶水原有x升。
3. 翻译条件：用去的 = (1/3)x升；剩下的 = 80升。
4. 列方程：整桶水 − 用去的 = 剩下的。
标准算式：\( x - \frac{1}{3}x = 80 \)
解：\( \frac{2}{3}x = 80 \) → \( x = 80 \times \frac{3}{2} = 120 \)
答：这桶水原有120升。
【易错陷阱】一桶水，第一次用去30升，第二次用去剩下的三分之一，这时还剩80升。这桶水原有多少升？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：看到分数“三分之一”，想都不想就设总量为x，然后列式：x - 30 - (1/3)x = 80。
图解陷阱：仔细看！“第二次用去剩下的三分之一”，这里的 “单位1”已经变了，不再是最初的总量，而是“第一次用完后剩下的水量”。如果你还用总量x去乘1/3，就等于在图上错误地切割了长方形的不同部分。
正确思路：
1. 设原有水量为x升。
2. 第一次后剩下：(x - 30)升。
3. 第二次用去的单位1是(x-30)，所以第二次用去：(1/3)(x - 30)升。
4. 最后剩下的80升 = 第一次剩下的 − 第二次用去的。
5. 正确方程： \( (x - 30) - \frac{1}{3}(x - 30) = 80 \)
解得：\( \frac{2}{3}(x - 30) = 80 \) → \( x - 30 = 120 \) → \( x = 150 \)
【高手进阶】班级图书角的故事书比科技书多36本。故事书借出四分之三，科技书借出三分之二后，剩下的两种书数量恰好相等。原来故事书和科技书各有多少本？
思维迁移：这道题里有两个“单位1”：故事书总数和科技书总数。它们都未知，但存在关系。通常设较小的量（科技书）为x，则故事书为x+36。然后，“借出四分之三”后剩下的故事书是(1-3/4)(x+36)，“借出三分之二”后剩下的科技书是(1-2/3)x。利用“剩下的相等”列方程：(1/4)(x+36) = (1/3)x。解方程即可。核心依然是：认清每个分数是针对哪个“单位1”的。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
总量未知设为x，
分数紧盯单位1。
等量关系是桥梁，
翻译条件别心急。
🚀 举一反三：巩固练习
一根电线，用去60米，还剩全长的五分之二。这根电线全长多少米？
果园里有桃树和梨树共150棵，桃树棵数的百分之四十等于梨树棵数的三分之一。桃树、梨树各多少棵？（提示：设其中一个为x，用x表示另一个）
小明读一本书，第一天读了全书的八分之三多10页，第二天读了剩下的三分之一少5页，还剩50页未读。这本书共多少页？
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一：设全长x米。方程：x - 60 = (2/5)x。解得 x = 100。答：全长100米。
- 练习二：设桃树x棵，则梨树(150-x)棵。方程：(40/100)x = (1/3)(150-x)。解得 x = 250/3？不对，检查计算：0.4x = 50 - x/3 → (0.4+1/3)x=50 → (6/15+5/15)x=50 → (11/15)x=50 → x≈68.2？非整数，原题数据可能为凑整。正确思路：设桃树x，梨树y，则x+y=150且0.4x=y/3。解得x=约68，y=约82。此题为理解设元方法，数据可不强求整数。
- 练习三：设全书x页。第一天后剩：x - (3/8 x +10) = (5/8 x -10)页。第二天读后剩：[（5/8 x -10）] - {1/3*(5/8 x -10) - 5} = 50。化简方程求解即可。核心是逐步表示，找准每个分数的单位1。
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