初一数学期末急救：多项式的项易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲
适用年级
初一
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-22
💡 阿星精讲：多项式的项 的核心避坑原理
- 概念重塑：同学们，听阿星说！就像每个人都有独一无二的名字和样貌（身份证），多项式的每一项也都有自己的“完整身份”。比如在 \( 3x^2 - 2x + 1 \) 这个家庭里，有三个成员：\( 3x^2 \)、\( -2x \)、\( +1 \)。当问你“一次项是谁”时，你不能只说“2x”，那就好比只说了名字却丢了证件照（前面的负号）！它的全名是 \( -2x \)，这个“-”号是它不可分割的一部分。记住，项的符号是它的“身份证”，说任何一项，都必须把紧挨着它的符号（+或-）一起带上。
- 避坑口诀：阿星给你编个口诀，牢牢记住：“找项如认人，符号是灵魂。丢符如丢脸，答案错得狠！”
⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”
- ❌ 陷阱一（概念混淆型）：“项的系数”和“项本身”傻傻分不清。例如，认为多项式 \( -x^2 + 3x - 5 \) 的二次项是 \( x^2 \)，系数是-1。这是割裂的！ → ✅ 正解：二次项就是 \( -x^2 \)，它是一个整体。当我们说“系数”时，是把这个整体前面的数字因数（连同符号）拿出来说，所以系数是 -1。但项必须是完整的。
- ❌ 陷阱二（视觉误导型）：被括号或长长的表达式迷惑，看不清项的“真面目”。比如看到 \( 2y - (x - 3y) \)，在去括号前就匆忙判断项，导致符号错误。 → ✅ 正解：判断一个多项式有哪些项，必须先把它化成标准形式（即不含括号的加减法形式），再带着前面的符号去“认人”。
- ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在合并同类项或移动项时，只移动了字母和数字，却把它的“身份证”（符号）落在了原地。这是最致命的粗心！ → ✅ 正解：移动或重组项时，心里要默念“带上你的身份证”，即必须连同它前面的符号作为一个整体进行操作。
🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）
【易错题1：概念陷阱】 多项式 \( 2a - (3b - 4) \) 的常数项是\_\_\_\_\_\_。
💀 错误率：85%
❌ 常见错误：学生直接看原式，看到 \( -4 \)，就回答常数项是 \( -4 \)。或者看到 \( 4 \)，回答 \( 4 \)。
✅ 阿星解析：
- 第一步：亮出身份证！ 不能直接看，必须先帮多项式里的每个成员把“身份证”明确地亮出来。这就需要去括号：
\( 2a - (3b - 4) = 2a - 3b + 4 \) - 第二步：正式点名。 现在多项式是标准形式 \( 2a - 3b + 4 \)，它有三个项：\( 2a \)，\( -3b \)，\( +4 \)。
- 第三步：找到目标。 不含字母的项是常数项。所以常数项是 \( +4 \)，即 \( 4 \)。
阿星敲黑板：括号就像一扇门，不打开门，你就看不清里面每个人的完整身份（符号）！
【易错题2：思维陷阱】 代数式 \( \frac{3x^2y - 6xy}{3} \) 是多项式吗？如果是，请写出它的各项。
💀 错误率：90%
❌ 常见错误：1. 认为有除法不是多项式。2. 认为它是多项式，但项是 \( \frac{3x^2y}{3} \) 和 \( -\frac{6xy}{3} \)，没有化简。
✅ 阿星解析：
- 判断是否是多项式的关键：分母中是否含有字母。这里分母是数字 \( 3 \)，所以它是多项式。
- 写多项式的项，必须写成最简形式，即要把“身份证”上的冗余信息清理干净。
\( \frac{3x^2y - 6xy}{3} = \frac{3x^2y}{3} + \frac{-6xy}{3} = x^2y + (-2xy) = x^2y - 2xy \) - 所以，这个多项式有两项：\( x^2y \) 和 \( -2xy \)。注意，第二项的身份证是“-”号！
阿星敲黑板：即使多项式穿着“外套”（如整体除以一个数），我们最终也要让它以最清爽的标准形式亮相，才能看清每一项的真容！
【易错题3：大题陷阱】 如图，一块长为 \( (3a+2b) \)，宽为 \( (a+b) \) 的长方形铁皮，在四个角各剪去一个边长为 \( c \) 的小正方形（\( c > 0 \)），折成一个无盖盒子。
（1）用含 \( a, b, c \) 的多项式表示盒子的底面积。
（2）写出（1）中多项式的每一项。
（虚线框内为盒子底部，四个红色小正方形被剪去）
💀 错误率：95%
❌ 常见错误：
- （1）底面积 = \( (3a+2b)(a+b) \)（忘记减去两个c）。
- （1）底面积 = \( (3a+2b - c)(a+b - c) \)（只减了一个c）。
- （2）在写出项时，忘记展开化简，或者展开后丢项、写错符号。
✅ 阿星解析：
- 第一步：明确“底”是谁。 盒子的底是中间剩下的长方形。看图，它的长是原长减去两个 \( c \)，即 \( (3a+2b) - 2c \)。同理，宽是 \( (a+b) - 2c \)。
- 第二步：列出面积表达式。
底面积 \( S = [ (3a+2b) - 2c ] \times [ (a+b) - 2c ] \)。 - 第三步：展开并化简（为找项做准备）。 这是一个关键计算，必须仔细：
\[ \begin{aligned} S &= (3a+2b - 2c)(a+b - 2c) \\ &= 3a(a+b-2c) + 2b(a+b-2c) - 2c(a+b-2c) \\ &= 3a^2+3ab-6ac + 2ab+2b^2-4bc - 2ac-2bc+4c^2 \\ &= 3a^2 + (3ab+2ab) + 2b^2 + (-6ac-2ac) + (-4bc-2bc) + 4c^2 \\ &= 3a^2 + 5ab + 2b^2 - 8ac - 6bc + 4c^2 \end{aligned} \] - 第四步：亮出各项的“身份证”。 所以，这个关于 \( a, b, c \) 的多项式共有6项，分别是：
\( 3a^2,\ +5ab,\ +2b^2,\ -8ac,\ -6bc,\ +4c^2 \)。
阿星敲黑板：应用题里陷阱多，一要画图定尺寸，二要展开算仔细，三要合并同类项，最后逐项亮身份！任何一步丢了符号，整个身份信息就全乱了。
🚀 易错专项训练（你能全对吗？）
第一关：火眼金睛（判断对错 5题）
- 多项式 \( -x^3 + 2x - 7 \) 的二次项系数是 0。（ ）
- 多项式 \( 3m - 2n \) 由 \( 3m \) 和 \( 2n \) 两项组成。（ ）
- 项 \( -\frac{2}{5}xy \) 的系数是 \( \frac{2}{5} \)，次数是 2。（ ）
- 将多项式 \( 2x - y + 5 \) 的后两项用括号括起来写成 \( 2x - (y + 5) \)，它的项没有发生变化。（ ）
- 在多项式 \( a^2 - 2ab + b^2 \) 中，每一项的次数都是 2。（ ）
第二关：防坑演练（填空 5题）
- 多项式 \( 4 - x^2 + \frac{x}{3} \) 中，三次项是\_\_\_\_\_\_，常数项是\_\_\_\_\_\_。
- 多项式 \( 2(x-y) - 3(y-x) \) 化简后的结果是\_\_\_\_\_\_，这个多项式有\_\_\_\_\_\_项。
- 如果关于 \( x \) 的多项式 \( mx^3 - 4x^2 + nx - 5 \) 不含三次项和一次项，则 \( m = \)\_\_\_\_\_\_，\( n = \)\_\_\_\_\_\_。
- 多项式 \( \frac{3a-6b+9}{3} \) 的常数项是\_\_\_\_\_\_。
- 一个只含字母 \( x \) 的多项式，它的二次项系数是 \( -1 \)，一次项系数是 \( 2 \)，常数项是 \( -3 \)，这个多项式可以是\_\_\_\_\_\_（写出一个即可）。
答案与详细解析
第一关：火眼金睛
- ✅ 对。 因为这个多项式没有二次项，我们可以认为二次项是 \( 0 \cdot x^2 \)，所以系数是 0。
- ❌ 错。 多项式 \( 3m - 2n \) 由 \( 3m \) 和 \( -2n \) 两项组成。“-”号是第二项 \( -2n \) 的身份证，不能丢。
- ❌ 错。 项 \( -\frac{2}{5}xy \) 是一个整体，它的系数是 \( -\frac{2}{5} \)，次数是 \( 1+1=2 \)。
- ❌ 错。 \( 2x - y + 5 = 2x + (-y + 5) = 2x - (y - 5) \)。原式后两项是 \( -y \) 和 \( +5 \)，括起来时应为 \( - (y - 5) \)。写成 \( 2x - (y + 5) = 2x - y - 5 \)，改变了 \( +5 \) 的符号，项发生了变化。
- ✅ 对。 \( a^2 \) 次数为2，\( -2ab \) 次数为 \( 1+1=2 \)，\( b^2 \) 次数为2。
第二关：防坑演练
- 三次项：不存在（或写0），常数项：\( 4 \)。
解析：多项式为 \( 4 - x^2 + \frac{1}{3}x \)，即 \( -x^2 + \frac{1}{3}x + 4 \)。没有三次项，常数项是 \( +4 \)。 - 结果：\( 5x - 5y \)（或 \( 5(x-y) \)），项数：2。
解析： \( 2(x-y) - 3(y-x) = 2x - 2y - 3y + 3x = (2x+3x) + (-2y-3y) = 5x - 5y \)。两项是 \( 5x \) 和 \( -5y \)。 - \( m = 0 \)，\( n = 0 \)。
解析：“不含三次项”即三次项系数为0，所以 \( m=0 \)。“不含一次项”即一次项 \( nx \) 的系数 \( n=0 \)。 - 常数项：\( 3 \)。
解析： \( \frac{3a-6b+9}{3} = a - 2b + 3 \)。常数项是 \( +3 \)。 - 答案不唯一，如：\( -x^2 + 2x - 3 \)。
解析：根据条件直接写出：二次项 \( -1 \cdot x^2 \)，一次项 \( +2x \)，常数项 \( -3 \)。
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