初二数学期末急救：多边形的内角和与外角和易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 小星说：“一个多边形的边数每增加1，它的内角和增加 \( 180^\circ \)，外角和也增加 \( 180^\circ \)。” 你认为小星的说法正确吗？请说明理由。

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：认为正确。学生容易记住内角和的变化规律，并错误类比到外角和上，觉得“既然都和多边形有关，变化规律应该差不多”。

✅ 阿星解析：小星的说法是错误的。

1. 设原多边形边数为 \( n \)，则其内角和为 \( S_n = (n-2) \times 180^\circ \)。
2. 边数增加1后，变为 \( n+1 \) 边形，内角和为 \( S_{n+1} = [(n+1)-2] \times 180^\circ = (n-1) \times 180^\circ \)。
3. 内角和增加量为：\( S_{n+1} - S_n = [(n-1) - (n-2)] \times 180^\circ = 180^\circ \)。这部分正确。
4. 但是，任何多边形的外角和都恒等于 \( 360^\circ \)。 无论边数 \( n \) 是多少，外角和都不变。所以边数增加1，外角和不变，增加量为 \( 0^\circ \)。

因此，小星说“外角和也增加 \( 180^\circ \)”是完全错误的。

【易错题2：思维陷阱】 如图，在四边形 \( ABCD \) 中，\( \alpha \)，\( \beta \) 分别是其两个外角。已知 \( \angle A = 70^\circ \)，\( \angle B = 110^\circ \)，\( \angle C = 80^\circ \)，求 \( \alpha + \beta \) 的度数。

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：试图分别求出 \( \alpha \) 和 \( \beta \)。先求 \( \angle D = 360^\circ - (70^\circ+110^\circ+80^\circ) = 100^\circ \)，然后认为 \( \alpha = 180^\circ - \angle A = 110^\circ \)，\( \beta = 180^\circ - \angle B = 70^\circ \)，最后相加得 \( 180^\circ \)。

✅ 阿星解析：掉坑里啦！题目问的是两个特定外角 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 的和，它们并不是四边形所有外角。直接使用“外角和为 \( 360^\circ \)”的前提是所有外角之和。正确的解法是：

1. 先求出 \( \angle D = 360^\circ - (70^\circ + 110^\circ + 80^\circ) = 100^\circ \)。
2. 观察图形，\( \alpha \) 是 \( \angle A \) 的邻补角（一个外角），\( \beta \) 是 \( \angle B \) 的邻补角（另一个外角）。
3. 但是，四边形共有4个外角。设 \( \angle C \) 的外角为 \( \gamma \)，\( \angle D \) 的外角为 \( \delta \)。
4. 根据外角和定理：\( \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)。
5. 而 \( \gamma = 180^\circ - \angle C = 100^\circ \)，\( \delta = 180^\circ - \angle D = 80^\circ \)。
6. 所以，\( \alpha + \beta = 360^\circ - (\gamma + \delta) = 360^\circ - (100^\circ + 80^\circ) = 180^\circ \)。

虽然这道题碰巧答案也是 \( 180^\circ \)，但思维过程天差地别。错误解法是误把两个外角当成全部外角，而正确解法是运用整体与部分的关系。如果 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 不是相邻顶点上的外角，错误解法就会得到错误答案！

【易错题3：大题陷阱】 一个正多边形的一个内角等于其一个外角的 \( k \) (\( k \) 为正整数) 倍。

1. 用含 \( k \) 的式子表示这个正多边形的边数 \( n \)。
2. 是否存在这样的正多边形，它的一个内角等于一个外角的 \( 3 \) 倍？如果存在，请求出它的边数 \( n \)；如果不存在，请说明理由。

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：

1. 设错方程。错误地设：内角 = \( k \times 外角 \)，然后代入 \( \frac{(n-2)\times180}{n} = k \times \frac{360}{n} \)。这里错把外角和 \( 360^\circ \) 当成了一个外角的度数。
2. 忽略“正多边形”隐含的“每个外角相等”条件，导致无法建立关系。
3. 解出 \( n \) 的表达式后，第(2)问直接代入 \( k=3 \) 计算，得到 \( n=8 \)，就认为存在。忘记了边数 \( n \) 必须是大于等于3的整数这个隐性条件，需要检验。

✅ 阿星解析：

1. 建立方程：对于正 \( n \) 边形，每个内角为 \( \frac{(n-2)\times180^\circ}{n} \)，每个外角为 \( \frac{360^\circ}{n} \)。
   
   根据题意：一个内角 = \( k \times \) 一个外角。
   
   即：\( \frac{(n-2)\times180}{n} = k \times \frac{360}{n} \)。
   
   两边同乘以 \( n \) ( \( n \geq 3 \) )：\( 180(n-2) = 360k \)。
   
   化简：\( n-2 = 2k \)。
   
   所以，边数 \( n = 2k + 2 \)。
2. 判断存在性：当 \( k = 3 \) 时，代入 \( n = 2\times3 + 2 = 8 \)。
   
   必须检查 \( n=8 \) 是否满足正多边形的条件：\( n=8 \geq 3 \)，且为整数。
   
   所以，存在这样的正多边形，它是正八边形。
   
   【阿星提醒】这里容易忽略的陷阱是，如果算出的 \( n \) 不是整数（比如 \( k=1.5 \) 时），或者 \( n < 3 \)，那么就不存在。