五年级数学期末急救：图形的高（钝角三角形）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲
适用年级
五年级
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最近更新
2025-12-22
💡 阿星精讲：图形的高（钝角三角形） 的核心避坑原理
- 概念重塑：想象钝角三角形是一堵矮墙，你要从墙外一点（钝角顶点），画一把“垂直的梯子”到地面（底边）。这把梯子够不着墙内的地面，怎么办？阿星说：很简单，把地面（底边）向外延长出去！这样，梯子（高）就能稳稳地架在延长的地面上了。所以，钝角三角形中，以钝角所对的边为底时，高一定在三角形外面。千万别在三角形“肚子”里乱找，那是找不到的！
- 避坑口诀：钝角对边为底时，高在形外要牢记。延长底边做垂线，垂直符号别忘记！
⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”
- ❌ 陷阱一（概念混淆型）：认为“高”必须画在三角形内部，所以对着钝角三角形的钝角顶点，硬在三角形内部画一条“看似垂直”的线到底边。→ ✅ 正解：高是“顶点到对边的垂直线段”，与图形内外无关。当对边（底）不够长时，必须将其延长，让垂足落在延长线上。
- ❌ 陷阱二（视觉误导型）：题目给出的图形底边是水平的，但三角形被旋转了一个角度摆放。学生习惯性地以为最下面的边就是“底”，而不去看题目指定的底边，导致画错对应的高。→ ✅ 正解：“底”是题目指定的！画高前，先明确题目说“以哪条边为底”，再去找这条边所对的顶点，然后做垂线。
- ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在组合图形中，找到了钝角三角形的高，但在计算面积时，底的长度仍然用原边长，而不是用到垂足的实际距离（即底边本身长度）。→ ✅ 正解：计算面积时，公式 \( S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 \) 中的“底”，一定是垂足之间的那段长度，如果垂足在延长线上，那么“底”就是顶点到原底边端点的连线在底边所在直线上的投影长度，通常就是题目给出的原底边长。
🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）
【易错题1：概念陷阱】 画出下图三角形 \( ABC \) 中，以边 \( AC \) 为底边的高。
💀 错误率：85%
❌ 常见错误：直接从顶点 \( B \) 向边 \( AC \) 画一条落在 \( AC \) 线段内的垂线（如下图红色错误线所示），发现画不出来或者不垂直，于是随便画一条线连接 \( B \) 和 \( AC \) 的中点。
✅ 阿星解析：
- 第一步（定底找顶点）：题目指定底边是 \( AC \)，那么它所对的顶点是 \( B \)。
- 第二步（判断高位置）：观察发现 \( \angle B \) 是钝角（大于 \( 90^\circ \)），根据口诀“钝角对边为底时，高在形外要牢记”，我们确定高 \( BD \) 需要画在三角形外部。
- 第三步（延长画垂线）：将底边 \( AC \) 向点 \( C \) 方向延长（因为钝角顶点 \( B \) 更靠近 \( C \)）。过点 \( B \) 向这条延长线作垂线，垂足为 \( D \)。线段 \( BD \) 即为所求的高。
【易错题2：思维陷阱】 如下图所示，四边形 \( ABCD \) 是一个直角梯形。请找出图中所有以 \( CD \) 为底的钝角三角形，并画出它们以 \( CD \) 为底的高。
💀 错误率：90%
❌ 常见错误：只找到三角形 \( BCD \)，并正确画出了它的高。完全忽略了三角形 \( ACD \) 也是一个以 \( CD \) 为底的钝角三角形。
✅ 阿星解析：
- 第一步（全面排查）：题目问“所有以 \( CD \) 为底的钝角三角形”。在四边形 \( ABCD \) 中，含有边 \( CD \) 的三角形有：\( \triangle ACD \)、\( \triangle BCD \)。
- 第二步（判断类型）：
- 在 \( \triangle BCD \) 中，底边 \( CD \) 所对的角是 \( \angle B \)。因为 \( \angle ABC \) 是直角梯形的直角，所以 \( \angle B \) 是直角（\( 90^\circ \)），\( \triangle BCD \) 是直角三角形，不符合“钝角三角形”要求。
- 在 \( \triangle ACD \) 中，底边 \( CD \) 所对的角是 \( \angle A \)。观察图形，\( \angle A \) 明显大于 \( 90^\circ \)，所以 \( \triangle ACD \) 是钝角三角形。
所以，符合条件的只有 \( \triangle ACD \)。
- 第三步（画高）：对 \( \triangle ACD \)，以 \( CD \) 为底，顶点是 \( A \)。因为 \( \angle A \) 是钝角，所以高在形外。延长底边 \( CD \)（向 \( D \) 方向），过顶点 \( A \) 向延长线作垂线 \( AE \)，\( E \) 为垂足。\( AE \) 即为高。
【易错题3：大题陷阱】 一块广告牌的形状是一个钝角三角形 \( PQR \)。已知底边 \( PR = 8\text{m} \)，对应的高 \( h = 3.5\text{m} \)。现在要给这块广告牌的正反两面都刷上油漆，如果每平方米需要油漆 \( 0.4\text{kg} \)，一共需要准备多少千克油漆？（注意高的位置）
💀 错误率：95%
❌ 常见错误：
- 忽略“高在形外”的事实，直接用 \( 8\text{m} \) 和 \( 3.5\text{m} \) 代入面积公式，得到 \( S = \frac{1}{2} \times 8 \times 3.5 = 14 (\text{m}^2) \)。
- 虽然注意到高在外面，但错误地认为“底”的长度变了，用其他边长去计算面积。
- 计算油漆时，忘记“正反两面”，只算了一面的面积。
- 最后结果忘记带单位“千克”。
✅ 阿星解析：
- 第一步（理解图形）：如图，这是一个钝角三角形 \( PQR \)，以 \( PR \) 为底，顶点 \( Q \) 所对应的高 \( QS \) 在三角形外部，垂足 \( S \) 在 \( PR \) 的延长线上。但题目已经直接给出了底 \( PR = 8\text{m} \) 和高 \( h = 3.5\text{m} \)，这意味着 底的长度就是原边长 \( 8\text{m} \)，不需要我们再去测量垂足间的距离。这是题目给出的直接条件。
- 第二步（计算单面面积）：三角形的面积公式永远是 \( S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 \)。代入数据：
\[ S_{\text{单面}} = \frac{1}{2} \times 8 \times 3.5 = 14 (\text{m}^2) \]
这里的高 \( 3.5\text{m} \) 就是顶点 \( Q \) 到底边 \( PR \) 所在直线的垂直距离，与垂足是否在 \( PR \) 线段上无关。 - 第三步（计算总面积）：广告牌有正反两面，所以需要刷漆的总面积是：
\[ S_{\text{总}} = 14 \times 2 = 28 (\text{m}^2) \] - 第四步（计算油漆用量）：每平方米需要 \( 0.4\text{kg} \) 油漆，总需油漆量为：
\[ 28 \times 0.4 = 11.2 (\text{kg}) \] - 第五步（完整作答）：答：一共需要准备 \( 11.2 \) 千克油漆。
阿星提醒：这道题最深的坑在于，它用图形展示了“高在形外”这个易错点，但给出的数据已经可以直接用于标准面积公式。很多同学被图形吓到，反而不敢直接用公式，或者去算一些无关的长度。记住，只要明确了底和对应的高，公式直接套用！
🚀 易错专项训练（你能全对吗？）
第一关：火眼金睛（判断对错 5题）
- 钝角三角形只有一条高在三角形外部。
- 以钝角三角形的钝角所对的边为底，这条底边上的高一定在三角形内部。
- 三角形的高都是一条从顶点向对边画的垂直线段。
- 在下图中，如果以边 \( BC \) 为底，那么它的高是线段 \( AD \)。
- 一个三角形，给定一条边作为底，它的高的长度和画法是唯一确定的。
第二关：防坑演练（填空 5题）
- 一个钝角三角形，其中两条边的长度分别是 \( 5\text{cm} \) 和 \( 6\text{cm} \)，那么第三条边的长度可能是 \( \_\_\_\_ \text{cm} \)（写出一个可能的整数长度即可）。
- 画钝角三角形的高时，如果垂足不在底边上，就需要把底边 \_\_\_\_\_。
- 一个钝角三角形的面积是 \( 15\text{cm}^2 \)，它的一条底边长是 \( 6\text{cm} \)，这条底边对应的高是 \( \_\_\_\_ \text{cm} \)。
- 在下图三角形 \( MNP \) 中，如果以 \( MP \) 为底，那么顶点 \_\_\_\_ 所对应的角是钝角，因此高需要画在三角形的 \_\_\_\_（内部/外部）。
- 一个等腰钝角三角形，它的底角是 \( 30^\circ \)，那么它的顶角是 \( \_\_\_\_^\circ \)。
答案与详细解析
第一关：火眼金睛
- 错。 钝角三角形有且只有一条高在三角形内部（从锐角顶点向对边所作的高）。以钝角所对的边为底时，高在外部；以两个锐角所对的边为底时，高在内部。
- 错。 恰恰相反，以钝角所对的边为底时，高一定在三角形外部。
- 对。 这是高的定义。关键在于“对边”可以指对边所在的直线，所以垂足可能在延长线上。
- 对。 图中 \( \triangle ABC \) 是锐角三角形，所有高都在内部。\( AD \) 是从顶点 \( A \) 向对边 \( BC \) 所作的垂线，所以 \( AD \) 是以 \( BC \) 为底的高。
- 对。 给定底边后，它所对的顶点就确定了。从该顶点向底边所在直线作垂线，有且只有一条，所以高的长度和画法是唯一的。
第二关：防坑演练
- 答案不唯一，如 \( 8 \)（满足 \( 8 > \sqrt{6^2+5^2} \) 或 \( 8 > 6+5 \) ？不对，应是三角形边长需满足两边之和大于第三边，且因为钝角，还需满足...）更准确的：因为是钝角三角形，设第三边为 \( c \)，若 \( c \) 为最长边（即钝角对边），则需满足 \( c^2 > 5^2 + 6^2 = 61 \)，所以 \( c > \sqrt{61} \approx 7.8 \)，且 \( c < 5+6=11 \)，所以整数 \( c \) 可以是 \( 8, 9, 10 \)。若 \( 6 \) 为最长边（即钝角对边），则需 \( 6^2 > 5^2 + c^2 \)，即 \( c^2 < 11 \)，\( c < \sqrt{11} \approx 3.3 \)，且满足 \( c + 5 > 6 \)，即 \( c > 1 \)，所以整数 \( c \) 可以是 \( 2, 3 \)。综上，可能答案为 \( 2, 3, 8, 9, 10 \) 中任意一个。 简单写一个如 \( 8 \) 即可。
- 延长。
- 由面积公式 \( S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 \) 得：\( 15 = \frac{1}{2} \times 6 \times 高 \)，所以 \( 高 = 15 \times 2 \div 6 = 5 \)。答案为 \( \mathbf{5} \)。
- 以 \( MP \) 为底，它所对的顶点是 \( N \)。观察图形，\( \angle N \) 是钝角。因此高需要画在三角形的 外部。答案：N， 外部。
- 等腰三角形两个底角相等，均为 \( 30^\circ \)。三角形内角和 \( 180^\circ \)，所以顶角 \( = 180^\circ - 30^\circ \times 2 = 120^\circ \)。\( 120^\circ > 90^\circ \)，确实是钝角。答案为 \( \mathbf{120} \)。
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