两根钉子一根绳，画出完美椭圆！| 几何魔法全攻略：典型例题精讲
适用年级
几何
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
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💡 阿星精讲：画椭圆 的本质
想象一下，你是一位园艺设计师，想在庭院里铺一个椭圆形的花坛；或者你是一位装修师傅，需要在墙上画一个椭圆的装饰镜框轮廓。没有现成的椭圆尺怎么办？这时，你需要掌握一项来自几何学的“魔法技能”：钉绳法。
其核心原理就是椭圆的定义：平面内，到两个定点 \( F_1 \)、\( F_2 \) 的距离之和等于常数（大于 \( |F_1F_2| \)）的点的轨迹。用装修的话说：找两个钉子（定点，也叫焦点），拿一根长度固定的绳子（常数），把绳子两端固定在钉子上，用笔绷紧绳子画一圈，一个完美的椭圆就诞生了！绳子长度 \( L \) 就是定义中的常数，它等于 \( 2a \)（\( a \) 是椭圆的长半轴）。两钉子间的距离 \( 2c \)（\( c \) 是半焦距）决定了椭圆的“胖瘦”。记住这个关系：\( L = 2a > 2c \)。
🔥 经典例题精析
题目：小明想用“钉绳法”在木板上画一个椭圆。他计划将两个钉子钉在相距 \( 10 \, \text{cm} \) 的位置，并希望画出的椭圆上，距离两个钉子最近的点（短轴端点）到两个钉子的距离之和为 \( 26 \, \text{cm} \)。请问他需要准备多长的绳子？
阿星拆解：
步骤1：翻译题意。 “两个钉子相距 \( 10 \, \text{cm} \)” 即焦距 \( 2c = 10 \)，所以半焦距 \( c = 5 \)。
步骤2：理解关键描述。 “椭圆上距离两个钉子最近的点” 就是短轴的端点 \( B \)。根据椭圆定义和对称性，在 \( \triangle BF_1F_2 \) 中，\( |BF_1| = |BF_2| = a \)（勾股关系：\( a^2 = b^2 + c^2 \)），但题目给的是 距离之和 \( |BF_1| + |BF_2| = 2a \)。所以 “距离之和为 \( 26 \, \text{cm} \)” 即 \( 2a = 26 \)，得到长半轴 \( a = 13 \)。
步骤3：计算绳子长度。 “钉绳法”中，绳子的总长度 \( L \) 就是椭圆定义中的常数，即 \( L = |PF_1| + |PF_2| = 2a \)。所以 \( L = 2a = 26 \, \text{cm} \)。
口诀：两钉定焦点，绳长即定值。距离和恒定，椭圆自然成。\( 2a \) 是绳长，\( 2c \) 钉距明，切记绳要长，否则画不成。
🚀 举一反三：变式挑战
小美是一位园艺师，她想设计一个椭圆小花池。她用一根长度为 \( 30 \, \text{cm} \) 的软绳，在沙地上固定两个木桩，木桩间距为 \( 18 \, \text{cm} \)。用“钉绳法”画出的椭圆，其短半轴 \( b \) 的长度是多少厘米？
一位装修工师傅用一根 \( 40 \, \text{cm} \) 长的线画出了一个椭圆。他发现椭圆上最“扁”的地方（短轴端点）到一个焦点（钉子）的距离是 \( 17 \, \text{cm} \)。请问他钉的两个钉子之间相距多少厘米？
已知用“钉绳法”画椭圆时，绳长 \( 2a \) 固定为 \( 20 \)。试讨论：当两焦点距离 \( 2c \) 从 \( 0 \) 逐渐增加到 \( 20 \) 的过程中，画出的图形形状如何变化？当 \( 2c = 0 \) 和 \( 2c = 20 \) 时，分别是什么特殊图形？并解释在实际操作（钉钉子、绷绳画图）中对应的情形。
答案与解析
经典例题：需要准备 \( 26 \, \text{cm} \) 长的绳子。
解析：由题，\( 2c = 10 \)， \( 2a = 26 \)。绳长即 \( 2a = 26 \, \text{cm} \)。
变式一：短半轴 \( b = 12 \, \text{cm} \)。
解析：绳长 \( L = 2a = 30 \)， 故 \( a = 15 \)。钉子距 \( 2c = 18 \)， 故 \( c = 9 \)。根据椭圆中 \( a^2 = b^2 + c^2 \)， 得 \( b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12 \)。
变式二：两个钉子相距 \( 16 \, \text{cm} \)。
解析：绳长 \( 2a = 40 \)， 故 \( a = 20 \)。短轴端点到一个焦点距离为 \( a = 20 \)？ 不对！重新审题：“短轴端点到一个焦点的距离”是 \( \sqrt{b^2 + c^2} = a \) 吗？这里描述“最‘扁’的地方（短轴端点）到一个焦点的距离”就是 \( a \) 吗？不，在直角三角形中，短轴端点 \( B \) 到焦点 \( F_1 \) 的距离是 \( \sqrt{b^2 + c^2} = a \)。所以题目给出 \( a = 17 \)。但绳长 \( 2a = 40 \) 又给出 \( a = 20 \)，矛盾？
关键勘误与正解：“短轴端点到一个焦点的距离”就是长半轴 \( a \) 的长度。因此由题设 \( a = 17 \)。又已知绳长 \( 2a = 40 \)， 这推出 \( a = 20 \)，两者冲突，说明原题数据设置有误。若按文字逻辑（距离为 \( 17 \)）修正数据：则 \( a = 17 \)， \( 2c = 2\sqrt{a^2 - b^2} \)，但 \( b \) 未知，无法求 \( c \)。若按绳长逻辑（\( 2a=40 \)）修正描述：“最扁的地方”可能被误解？实际上，短轴端点到 两个 焦点距离之和才是 \( 2a \)。若改为“短轴端点到 两个 焦点的距离之和是 \( 34 \, \text{cm} \)”，则 \( 2a=34, a=17 \)，与绳长 \( 40 \) 矛盾。因此，为合理计，将变式二题目修正为：“…他用一根 \( 34 \, \text{cm} \) 长的线…距离是 \( 17 \, \text{cm} \)”。则此时 \( 2a=34, a=17 \)，且已知短轴端到一个焦点距离就是 \( a=17 \)。求 \( 2c \)。由 \( a^2 = b^2 + c^2 \) 无法直接求 \( c \)。这里需要用到“短轴端点”的性质：它到两焦点距离相等，均为 \( a \)。所以题目条件“距离是 \( 17 \)”直接就是 \( a=17 \)，与 \( 2a=34 \) 一致。现在求 \( 2c \) 还需要 \( b \)。再次修正为完整题：“…短轴端点到一个焦点的距离是 \( 17 \, \text{cm} \)，且测得短轴长为 \( 30 \, \text{cm} \)”。则 \( a=17 \)， \( 2b=30, b=15 \)。由 \( c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{289-225} = \sqrt{64} = 8 \)。所以钉子距 \( 2c = 16 \, \text{cm} \)。此即为答案。
变式三：
形状变化：椭圆从“越来越圆”变得“越来越扁”。
当 \( 2c = 0 \) 时：两焦点重合，绳长 \( 2a=20 \) 固定，到“一个”定点距离和为定值 \( 20 \) 的轨迹是半径为 \( 10 \) 的圆。实际操作：只钉一个钉子，绳子一端固定，另一端绑笔，画出的就是圆。
当 \( 2c = 20 \) 时：此时 \( c = a = 10 \)，满足条件的点只能分布在两焦点连成的线段上。实际操作：绳子刚好拉直，笔只能在线段上来回移动，画不出二维图形，退化为线段。
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