秒懂“猎狗追兔”！零基础直达大神的底层逻辑拆解：典型例题精讲

阿星拆解：别慌，我们一步一个脚印。

第一步：统一“步长”单位。 “狗5步=兔9步”，我们设狗的步长为 \(狗步\)，兔的步长为 \(兔步\)。那么：
\(5 \times 狗步 = 9 \times 兔步\) → \(狗步 = \frac{9}{5}兔步\)。也就是说，狗迈一步，相当于兔子迈 \(1.8\) 步那么远。

第二步：统一“频率”单位。 “狗2步时间=兔3步时间”，我们设这个共同时间为 \(t\)。那么在时间 \(t\) 内：
狗的频率是 \(\frac{2步}{t}\)，兔的频率是 \(\frac{3步}{t}\)。

第三步：合成真实速度。 速度 = 步长 × 频率。
狗的速度 \(v_{狗} = 狗步 \times \frac{2}{t} = (\frac{9}{5}兔步) \times \frac{2}{t} = \frac{18}{5} \times \frac{兔步}{t}\)
兔的速度 \(v_{兔} = 兔步 \times \frac{3}{t} = 3 \times \frac{兔步}{t}\)

看，\(\frac{兔步}{t}\) 成了一个公共单位。我们令 \(k = \frac{兔步}{t}\)，那么：
\(v_{狗} = \frac{18}{5}k = 3.6k\)，\(v_{兔} = 3k\)。

第四步：计算追及。 初始距离差 \(S_0 = 10\) 米（这里默认10米就是真实米，和我们的k单位对应）。
速度差 \(\Delta v = v_{狗} - v_{兔} = 3.6k - 3k = 0.6k\)。
追及时间 \(T = S_0 \div \Delta v = 10 \div 0.6k = \frac{100}{6k} = \frac{50}{3k}\)。

第五步：求狗跑的路程。 狗的路程 \(S_{狗} = v_{狗} \times T = 3.6k \times \frac{50}{3k} = 3.6 \times \frac{50}{3} = 60\) 米。

看，未知的 \(k\) 在最后计算中被约掉了！所以我们根本不需要知道 \(k\) 具体是多少。猎狗需要跑 \(60\) 米。

阿星敲黑板：这题有两个坑！1. 给了具体的“兔步长=5分米”，单位不是米。2. 问的是“多少秒”，需要求出真实时间，而\(k\)不能约掉了。

第一步：处理单位陷阱。 兔步长 \(= 5\) 分米 \(= 0.5\) 米。所有计算必须在“米”和“秒”的体系下进行。

第二步：求步长关系。 “狗4步=兔7步” → \(4 \times 狗步 = 7 \times 兔步 = 7 \times 0.5 = 3.5\) 米。
所以，狗的步长 \(狗步 = 3.5 \div 4 = 0.875\) 米。

第三步：求频率关系。 设狗跑2步（也是兔跑3步）所用的时间为 \(t\) 秒。
那么，狗的步频（每秒几步）为：\(f_{狗} = \frac{2}{t}\) 步/秒。
兔的步频为：\(f_{兔} = \frac{3}{t}\) 步/秒。

第四步：合成真实速度。
\(v_{狗} = 狗步 \times f_{狗} = 0.875 \times \frac{2}{t} = \frac{1.75}{t}\) 米/秒。
\(v_{兔} = 兔步 \times f_{兔} = 0.5 \times \frac{3}{t} = \frac{1.5}{t}\) 米/秒。

第五步：计算追及时间（秒）。 速度差 \(\Delta v = \frac{1.75}{t} - \frac{1.5}{t} = \frac{0.25}{t}\) 米/秒。
初始距离 \(S_0 = 20\) 米。
追及时间 \(T = S_0 \div \Delta v = 20 \div \frac{0.25}{t} = 20 \times \frac{t}{0.25} = 80t\) 秒。

咦，答案里还有 \(t\)？这个 \(t\) 是“狗2步的时间”，题目没给，是不是做错了？别急，我们能用已知条件求出 \(t\)！

第六步：利用速度求 \(t\)。 我们知道狗的速度 \(v_{狗} = \frac{1.75}{t}\)。另一方面，狗的速度也等于 \(狗步 \times f_{狗} = 0.875 \times \frac{2}{t}\)，和前面一样，这求不出 \(t\)... 等等，我们缺一个条件。
重新审题！ 题目给了绝对距离（20米）和兔的绝对步长（0.5米），就是为了让我们能算出绝对速度，而不是速度比。我们需要狗或兔的绝对步频（每秒几步）才能求出 \(t\)。但题目没给！这说明什么？说明本题的 \(t\) 是求不出的，最终答案应该是一个包含 \(t\) 的表达式，或者题目本意是让我们求路程而非时间。

修正：如果我们把问题改成“猎狗跑多少米才能追上兔子”，那么时间 \(T = 80t\) 秒，狗跑的路程 \(S_{狗} = v_{狗} \times T = \frac{1.75}{t} \times 80t = 140\) 米。看，\(t\) 被约掉了！所以，在已知绝对步长的情况下，可以求出绝对路程，但求不出绝对时间，除非再给一个关于时间的条件。这是最大的坑！原题问“多少秒”可能是个烟雾弹，或者需要补充条件（如狗每秒跑2步）。我们按能算出确定答案的版本理解：猎狗需要跑 \(140\) 米才能追上兔子。

思维迁移：这题换了个“马甲”，把狗和兔换成了警车和小偷，把“步”换成了“车轮转一圈”。但核心原型丝毫没变！

第一步：识别“步长”和“频率”。
车轮周长就是“步长”——轮子转一圈前进的距离。
转速（每分钟转数）就是“频率”——单位时间内走多少“步”。

第二步：统一单位，计算真实速度。
设小偷摩托车车轮周长为 \(C\) 米，则警车车轮周长为 \(1.5C\) 米。
警车转速：\(f_{警} = 600\) 圈/分钟 \(= 10\) 圈/秒（除以60）。
小偷摩托车转速：\(f_{偷} = 800\) 圈/分钟 \(= \frac{40}{3}\) 圈/秒。
速度 = 步长 × 频率：
\(v_{警} = 1.5C \times 10 = 15C\) 米/秒。
\(v_{偷} = C \times \frac{40}{3} = \frac{40}{3}C\) 米/秒。

第三步：计算追及。
初始距离 \(S_0 = 150\) 米。
速度差 \(\Delta v = 15C - \frac{40}{3}C = (\frac{45}{3} - \frac{40}{3})C = \frac{5}{3}C\) 米/秒。
追及时间 \(T = 150 \div (\frac{5}{3}C) = 150 \times \frac{3}{5C} = \frac{90}{C}\) 秒。

第四步：求警车路程。
\(S_{警} = v_{警} \times T = 15C \times \frac{90}{C} = 1350\) 米。

看！无论车轮周长 \(C\) 是多少，它最终都被约掉。警车需要行驶 \(1350\) 米。这完全就是“猎狗追兔”的思维：通过比例关系找到速度比，在追及公式中未知量被约去，得到确定答案。