阿星，别怕！用“神奇1001”拆解大数整除难题

💡 阿星起步：整除特征71113 的底层逻辑

阿星，想象一下，老师问你：“123123这个数，能一口气被7、11、13整除吗？” 你是不是打算吭哧吭哧地做除法？太麻烦啦！

今天，我们请来一位神奇的帮手——数字1001。它就像数学里的一个“万能检验器”。为什么？因为 \( 1001 = 7 \times 11 \times 13 \)。它本身就是7、11、13的“结晶”。

我们的秘诀是：把一个数，从右往左，每三位隔成一段（像给长数字标上逗号）。然后，把所有“奇数段”的和，减去所有“偶数段”的和，得到一个差。如果这个差能被7、11或13整除，那么原来的大数，也就能被对应的7、11或13整除！

本质是什么？ 其实，我们是在悄悄地给这个数“减去1001的倍数”。比如，数字123123，其实就是 \( 123 \times 1001 \)。所以它当然能被1001整除，自然也能被7、11、13整除。我们的“奇偶段相减法”，就是快速判断一个数是不是“1001家族”成员的聪明办法。

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🚀 举一反三：变式挑战

解析与答案

【详尽解析】

变式一解析：
1. 隔断：\( 725|725 \)。
2. 求差：\( 725 - 725 = 0 \)。
3. 判断：0能被13整除。
✅ 答案：能整除。

变式二解析：
1. 设六位数为 \( 45A45A \)，隔断为 \( 45A | 45A \)（注意这里A是一个数字）。
2. 求差：\( (45A) - (45A) = 0 \)。差永远是0。
3. 结论：无论A是0-9中的哪个数字，差0都能被7整除。
✅ 答案：A可以是 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 中的任意一个。

变式三解析：
1. 将 \( 98765432198 \) 从右往左三位一段隔开。注意位数：98(最后)，321(倒数第二段)，654(倒数第三段)，98(最前，只有两位，需补0成098)。所以是：\( 098 | 654 | 321 | 98 \)。
2. 标奇偶（从右起）：98(奇)，321(偶)，654(奇)，098(偶)。
3. 奇数段和：\( 98 + 654 = 752 \)；偶数段和：\( 321 + 098 = 419 \)。
4. 求差：\( 752 - 419 = 333 \)。
5. 判断333能否被11整除：\( 11 \times 30 = 330 \)，333 - 330 = 3，不能整除。
✅ 答案：不能整除。