五年级数学期末急救：等底等高易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：等底等高 的核心避坑原理

• 概念重塑：嘿，同学！想象一下，三角形就像一群“变形金刚”。阿星问：两个机器人（三角形）长得完全不一样，它们的“战斗力”（面积）可能一样吗？很多同学第一反应：不可能！这正是最大的易错点！ 正解是：完全可能！决定三角形“战斗力”（面积）的，不是它的胖瘦高矮（形状），而是它的“核心装备”——底和高。只要它们选用了相同长度的“底盘”（底相等），并且从“头顶”到“底盘”的垂直距离（高）也相等，那么不管它们怎么“变形”（歪向哪边），它们的“战斗力”（面积）一定相等！公式 \( S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 \) 就是它们的“能量计算公式”。
• 避坑口诀： “形状不同别慌张，锁定底高是良方。公式一代就知详，等底等高积一样！”

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：“这两个三角形看起来完全不一样，面积怎么可能相等？” → ✅ 正解：面积只由底和高的数值决定，与形状无关。只要证明或已知底相等、高相等，面积就一定相等。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：“这个三角形斜着，它的高应该是那条斜边吧？”或者“这两个三角形共用一条边，高肯定一样。” → ✅ 正解：高必须是垂直距离，要老老实实从顶点向底边（或底边的延长线）作垂线。共边的两个三角形，只有“等底”一个条件，还必须看“等高”。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在复杂图形中，找错了三角形的“底”和它对应的“高”，张冠李戴导致计算错误。 → ✅ 正解：先明确你要算的是哪个三角形，再确定它的一条边为底，然后找到或画出这条底边上对应的高。

🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 等底等高的两个三角形，一定能拼成一个平行四边形。（ ）
2. 一个三角形的底扩大到原来的3倍，高缩小到原来的 \( \frac{1}{3} \)，面积不变。（ ）
3. 下图中，直线a平行于直线b，那么三角形甲和三角形乙的面积相等。
   
   （ ）
4. 面积相等的两个三角形，一定等底等高。（ ）
5. 直角三角形只有一条高。（ ）

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 一个平行四边形的面积是 \( 42 \, dm^2 \)，与它等底等高的三角形的面积是 \( \underline{\qquad\qquad} \, dm^2 \)。
2. 一个三角形的高是 \( 4 \, cm \)，面积是 \( 16 \, cm^2 \)，与它等底等高的平行四边形的面积是 \( \underline{\qquad\qquad} \, cm^2 \)。
3. 如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC，且 \( AD < BC \)。已知三角形ABC的面积是 \( 15 \, cm^2 \)，三角形ACD的面积是 \( 9 \, cm^2 \)。那么，三角形ABO的面积是 \( \underline{\qquad\qquad} \, cm^2 \)。（提示：O是AC与BD的交点，寻找等底等高关系）
   （本题为选做题，挑战思维）
4. 一个三角形，如果底增加 \( 3 \, cm \)，高不变，面积就增加 \( 9 \, cm^2 \)；如果高增加 \( 4 \, cm \)，底不变，面积就增加 \( 16 \, cm^2 \)。原三角形的面积是 \( \underline{\qquad\qquad} \, cm^2 \)。
5. 用两根长度都是 \( 30 \, cm \) 的铁丝，分别围成一个等边三角形和一个正方形。它们的面积相比，\( \underline{\qquad\qquad} \) 的面积大。（填“三角形”或“正方形”）

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ❌ 错。 只有两个完全一样（全等）的三角形才能拼成平行四边形。等底等高的两个三角形只是面积相等，形状可能不同。
2. ✅ 对。 面积 \( S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 \)。底变为 \( 3 \) 倍，高变为 \( \frac{1}{3} \)，乘积 \( 3 \times \frac{1}{3} = 1 \)，不变。
3. ✅ 对。 因为直线a平行于直线b，所以甲和乙的“高”相等（平行线间的距离处处相等）。它们又共用一条边（两个三角形顶点连线在a上的部分），但这不是同底。实际上，如果以a上的线段为公共底，它们的高都是平行线间的距离，所以等底等高？不，它们的底不一定相等。但是，我们可以把甲和乙都补上同一个大三角形，利用“同减”原理证明它们面积相等。或者直接根据“等底等高”的推论：夹在两条平行线间的三角形，如果底边相等，则面积相等。这里它们的底边都在a上，且端点相同吗？图形显示底边不同。严格来说，需要证明。但从常见模型（蝴蝶模型、沙漏模型）可知，\( S_{\triangle 甲} \) 和 \( S_{\triangle 乙} \) 的底在a上，高相等，但底不等，所以面积不一定相等？分析：设a上从左到右三点为M，N，P。甲是△MNP，乙是△NPQ？不，图中乙的顶点不在a上。实际上，甲和乙的顶点都在b上，它们在a上的底边是相邻的，但不相等。因此，除非给出具体长度或比例，否则无法判断面积相等。所以此题应为❌错。陷阱在于视觉误导，看起来好像相等。
4. ❌ 错。 面积相等只需要“底×高”的积相等，不一定要“底相等且高相等”。例如一个三角形底 \( 4 \) 高 \( 3 \)（面积 \( 6 \)），另一个底 \( 2 \) 高 \( 6 \)（面积也是 \( 6 \)）。
5. ❌ 错。 任何三角形都有三条高。直角三角形有两条直角边本身就是两条高，从直角顶点向斜边作的垂线段是第三条高。

第二关：防坑演练

1. \( 21 \)。解析：等底等高的三角形面积是平行四边形的一半。\( 42 \div 2 = 21 \)。
2. \( 32 \)。解析：先由三角形面积求底：\( 16 \times 2 \div 4 = 8 \, (cm) \)。等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍：\( 16 \times 2 = 32 \, (cm^2) \)。
3. \( 6 \)。解析：难度较大。因为 \( AD \parallel BC \)，所以 \( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle DBC} \)（等底等高）。都减去公共部分 \( S_{\triangle OBC} \)，得到 \( S_{\triangle ABO} = S_{\triangle DCO} \)。又因为 \( S_{\triangle ACD} = S_{\triangle ABD} \)（为什么？因为它们都以AD为底，高都是梯形的高，所以等底等高）。从 \( S_{\triangle ABD} \) 中减去 \( S_{\triangle AOD} \)，从 \( S_{\triangle ACD} \) 中减去 \( S_{\triangle AOD} \)，得到 \( S_{\triangle ABO} = S_{\triangle DCO} \)。设 \( S_{\triangle ABO} = x \)，\( S_{\triangle AOD} = y \)，\( S_{\triangle DCO} = x \)（已证）。观察三角形ABC（面积 \( 15 \)），它由 \( \triangle ABO (x) \)、\( \triangle AOD (y) \)、\( \triangle DCO (x) \) 组成？不对，三角形ABC由 \( \triangle ABO (x) \) 和 \( \triangle OBC \) 组成。观察三角形ACD（面积 \( 9 \)），它由 \( \triangle AOD (y) \) 和 \( \triangle DCO (x) \) 组成。所以有 \( x + y = 9 \)。再观察三角形ABC和三角形ABD，它们高相等（梯形高），底BC和AD的比等于面积比 \( 15 : S_{\triangle ABD} \)。但 \( S_{\triangle ABD} = x + y = 9 \)。所以 \( BC : AD = 15 : 9 = 5 : 3 \)。再利用三角形AOD和三角形COB相似，面积比等于边长比的平方 \( (3:5)^2 = 9:25 \)。设 \( S_{\triangle AOD} = 9k \)，则 \( S_{\triangle COB} = 25k \)。又因为 \( S_{\triangle ABO} = S_{\triangle DCO} \)，且 \( S_{\triangle ABO} \times S_{\triangle DCO} = S_{\triangle AOD} \times S_{\triangle COB} \)（蝴蝶模型性质），即 \( x^2 = 9k \times 25k = 225k^2 \)，所以 \( x = 15k \)。由 \( x + y = 9 \) 得 \( 15k + 9k = 24k = 9 \)，所以 \( k = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} \)。因此 \( x = 15 \times \frac{3}{8} = \frac{45}{8} = 5.625 \)。但这不是整数。检查：条件给的是 \( 15 \) 和 \( 9 \)，常见此类题结果是整数。更简单的方法：因为 \( S_{\triangle ABC} = 15 \)，\( S_{\triangle ACD} = 9 \)，且 \( AD \parallel BC \)，所以 \( \triangle ABC \) 和 \( \triangle ACD \) 的高相等（都是梯形高），它们的面积比等于底边比：\( BC : AD = 15 : 9 = 5 : 3 \)。由蝴蝶模型，\( S_{\triangle ABO} = S_{\triangle DCO} \)，且 \( S_{\triangle AOD} : S_{\triangle ABO} : S_{\triangle DCO} : S_{\triangle BOC} = (AD:BC)^2 : (AD:BC) : (AD:BC) : 1 = 9:15:15:25 \)。所以 \( S_{\triangle ABO} \) 占整个梯形面积的比例为 \( 15 / (9+15+15+25) = 15/64 \)。梯形面积 = \( S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} = 15+9=24 \)？不对，这里重复计算了？梯形面积 = \( S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} - S_{\triangle AOD} + S_{\triangle DCO} \)？太复杂。已知 \( S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD} = 9 \)（等底等高）。在 \( \triangle ABD \) 中，\( S_{\triangle ABO} + S_{\triangle AOD} = 9 \)。在 \( \triangle ABC \) 中，\( S_{\triangle ABO} + S_{\triangle BOC} = 15 \)。由相似，\( S_{\triangle AOD} : S_{\triangle BOC} = (AD:BC)^2 = 9:25 \)。设 \( S_{\triangle AOD}=9m \)，\( S_{\triangle BOC}=25m \)。代入上式：\( S_{\triangle ABO} + 9m = 9 \) ...①，\( S_{\triangle ABO} + 25m = 15 \) ...②。②-①得：\( 16m = 6 \)，\( m = 0.375 \)。代入①得：\( S_{\triangle ABO} = 9 - 9 \times 0.375 = 9 - 3.375 = 5.625 \)。所以答案为 \( 5.625 \) 或 \( \frac{45}{8} \)。但考虑到小学五年级，可能数据设计有误或期望用分数表示。作为填空题，可写 \( 5.625 \) 或 \( \frac{45}{8} \)。（本题超纲，了解思想即可，答案按计算给出）
4. \( 24 \)。解析：设原底为 \( a \, cm \)，高为 \( h \, cm \)。根据“底增加 \( 3 \) ，高不变，面积增加 \( 9 \) ”：\( \frac{1}{2} \times (a+3) \times h - \frac{1}{2} \times a \times h = 9 \) → \( \frac{1}{2} \times 3 \times h = 9 \) → \( h = 6 \, (cm) \)。根据“高增加 \( 4 \) ，底不变，面积增加 \( 16 \) ”：\( \frac{1}{2} \times a \times (h+4) - \frac{1}{2} \times a \times h = 16 \) → \( \frac{1}{2} \times a \times 4 = 16 \) → \( a = 8 \, (cm) \)。原面积 \( S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, (cm^2) \)。
5. 正方形。解析：周长都是 \( 30 \, cm \)。等边三角形边长：\( 30 \div 3 = 10 \, (cm) \)，面积：\( \frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^2 \approx 0.433 \times 100 = 43.3 \, (cm^2) \)（小学可用公式 \( \frac{底 \times 高}{2} \)，高 \( = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66 \)，面积 \( \approx 43.3 \)）。正方形边长：\( 30 \div 4 = 7.5 \, (cm) \)，面积：\( 7.5 \times 7.5 = 56.25 \, (cm^2) \)。\( 56.25 > 43.3 \)，所以正方形面积大。本题陷阱：学生可能直觉认为周长相等时，三角形面积大，或者不计算直接猜。