别再说彩虹是桥了！阿星用1个圆锥模型，让你彻底搞懂光学几何（附举一反三攻略）：典型例题精讲

阿星拆解：

第一步：建模。 将你的眼睛视为圆锥顶点 \( O \)。彩虹圆是圆锥与垂直平面的交线。我们需要找到圆锥的轴线（太阳光反方向）与母线（看向彩虹的光线）的夹角。

第二步：关键构造。 题目中的“经典角” \( \alpha = 42^\circ \) 是光线与圆锥轴线的夹角，即半顶角。因此，从顶点 \( O \) 到彩虹圆上任意一点的连线，与轴线的夹角都是 \( 42^\circ \)。

第三步：几何关系。 设水幕所在的垂直平面到眼睛的水平距离为 \( L = 100 \, \text{m} \)。眼睛到该平面的垂直距离（沿着平面法线方向）需要计算。由于水幕是垂直的，且眼睛高度 \( h \) 未知，我们需考虑最一般情况：眼睛 \( O \) 到水幕的最短距离（垂线段）\( d \) 并不简单等于 \( L \)。但题目暗示了水幕是“垂直”且距离“水平100m”，通常可简化认为眼睛到水幕的垂足在水平面上，即 \( d = L = 100 \, \text{m} \)。

第四步：计算半径。 设彩虹圆的半径为 \( R \)。在由圆锥轴线、母线和底面圆构成的直角三角形中，顶点 \( O \) 到圆心的距离为 \( D_0 \)，有 \( \sin \alpha = \frac{R}{D_0} \)。但 \( D_0 \) 不是已知的 \( d \)。更直接的方法：考虑圆锥被平行于底面的平面所截。若平面与顶点距离为 \( d' \)，则截面圆半径 \( R' = d' \cdot \tan \alpha \)。这里，水幕是垂直平面，情况不同。

正确思路： 将三维简化。眼睛 \( O \) 到水幕上彩虹圆的圆心 \( C' \) 的连线 \( OC‘ \) 垂直于水幕吗？不一定。我们利用角度不变性。在水幕平面上，彩虹圆上一点 \( P \)，满足 \( \angle (OP, 轴线) = 42^\circ \)。一个更简单的方法：考虑眼睛 \( O \) 到水幕的垂足为 \( H \)，则 \( OH = d = L = 100 \, \text{m} \)。设彩虹圆的圆心为 \( C \)，位于水幕上，且 \( OC \) 与轴线夹角为 \( 0^\circ \)（即 \( C \) 在轴线上）。那么，对于圆上一点 \( P \)，\( \triangle OCP \) 是等腰三角形吗？不完全是。

最实用的方法： 利用“圆锥与平面的交线是圆锥曲线”这一性质。当平面垂直于圆锥轴线时，交线是圆；当平面倾斜时，是椭圆。此处水幕垂直，而轴线（太阳光反方向）一般是倾斜的。但题目未给出太阳高度角。为简化并基于经典模型，我们假设观察者看到的彩虹圆关于视线水平对称，且水幕足够大，包含了这个圆。那么，这个圆的半径 \( R \) 满足：从眼睛 \( O \) 到圆上任意一点 \( P \) 的线段 \( OP \)，其在垂直于轴线平面上的投影长度 \( R' \) 恒定。计算复杂。

采用经典近似解法： 在光学中，常将彩虹视为一个以观察者为中心、角半径为 \( 42^\circ \) 的圆。因此，彩虹的视直径是 \( 84^\circ \)。要转换为水幕上的物理直径，需要知道水幕到眼睛的实际距离。我们已知水平距离 \( L = 100 \, \text{m} \)。若近似认为水幕上彩虹圆所在区域中心与眼睛的连线与水平面夹角为 \( \theta \)，则实际距离 \( D_{实际} = \frac{L}{\cos \theta} \)。但 \( \theta \) 未知。

给定简化条件： 假设彩虹圆中心与眼睛的连线恰好水平（即圆心与眼睛同高），那么眼睛到水幕上圆的平面的距离就是 \( L \)。此时，彩虹的角半径为 \( 42^\circ \)，则其物理半径 \( R = L \cdot \tan(42^\circ) \)。直径 \( D = 2R = 2 \times 100 \times \tan(42^\circ) \)。

计算： \( \tan(42^\circ) \approx 0.9004 \)。
\( D \approx 2 \times 100 \times 0.9004 = 180.08 \, \text{m} \)。
保留一位小数： \( D \approx 180.1 \, \text{m} \)。

口诀：眼为顶点42度，圆锥投影彩虹出。几何构图抓相似，比例计算不含糊。