💡 阿星精讲：交通流模型 的本质

想象一下，你开车经过一连串红绿灯。有时候运气好，一路绿灯，像踩着“绿波带”滑行；有时候却总在每一个路口遇到红灯，仿佛陷入了“红波带”的魔咒。这并非运气，而是背后数学模型的精准操控。

交通工程师通过设定信号灯的周期 \( T \) 和相邻路口间的相位差 \( \phi \)，来控制车流的通行效率。其核心是一个关于时间、速度和距离的追赶模型：
- 绿波带：当你以建议速度 \( v \) 行驶时，到达每个路口的时间恰好与绿灯窗口时间匹配。数学模型为：到达时间 \( t_n = \frac{L}{v} + (n-1)\Delta t \)，需满足 \( t_n \mod T \) 落在绿灯时长 \( G \) 内。
- 红波带：反之，如果你的速度 \( v' \) 不匹配，或者相位差 \( \phi \) 设置不当，就会导致 \( t_n \mod T \) 总是落在红灯时长 \( R \) 内，注定“一路红灯”。

这本质上是一个周期函数与模运算的应用。理解它，你就掌握了协调控制系统背后的数学钥匙。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：
1. 绿波速度：满足 \( 8.89 \leq v \leq 13.33 \, \text{m/s} \) 即可实现绿波。一个典型解为 \( v = 10 \, \text{m/s} \) 或 \( v = 12 \, \text{m/s} \)。
2. 等待时间（以 \( v' = 8 \, \text{m/s} \) 计）：到达B路口时间为 \( 100 \, \text{s} \)，处于该路口周期的第 \( 40 \, \text{s} \)（\( 0-30 \)绿灯，\( 30-60 \)红灯），因此是红灯。下一个绿灯开始于第 \( 60 \, \text{s} \)（下一个周期的起点），故需等待 \( 60 - 40 = 20 \, \text{s} \)。

变式挑战解析：

变式一（基础转换）：
列车运行时间 \( t_{run} = 5 \, \text{min} \)。设A站发车时刻为 \( 0 \)，则到达B站时刻为 \( 5 \)。B站的停靠窗口周期为 \( T = 10 \)，窗口时长 \( 2 \, \text{min} \)。我们需要 \( 5 \mod 10 \) 落在长度为 \( 2 \) 的窗口内，且该窗口的开始时间为 \( \phi \)。即需满足 \( \phi \leq 5 \leq \phi + 2 \)（在一个周期内考虑）。解得 \( 3 \leq \phi \leq 5 \)。因此，相位差 \( \phi \) 应设置在 \( 3 \) 到 \( 5 \) 分钟之间（例如 \( \phi = 4 \, \text{min} \)），即A站发车后 \( 4 \) 分钟，B站的停靠窗口开启。

变式二（逆向思维）：
车速 \( v = 36 \, \text{km/h} = 10 \, \text{m/s} \)。从第一个路口到第三个路口总距离为 \( 2L = 1200 \, \text{m} \)，行驶时间 \( t = 1200 / 10 = 120 \, \text{s} \)。
在第一、二路口，由于周期 \( T_1 = 50 \, \text{s} \)，绿灯区间为 \( [0, 25] \) 模 \( 50 \)。
车在 \( t = 120 \, \text{s} \) 到达第三路口。若遇到红灯，说明 \( 120 \mod T_3 \) 的值落在第三路口的红灯区间 \( [25, T_3] \)（假设其绿灯也是前 \( 25 \, \text{s} \)）。
设 \( 120 = k T_3 + r \)，其中 \( 0 \leq r < T_3 \)，且要求 \( 25 < r < T_3 \)（或 \( r = 0 \) 时是绿灯起点，但题目说遇到红灯，所以排除 \( r=0 \)，且 \( r=25 \) 是绿灯终点，通常也算遇到绿灯，所以红灯条件是 \( r > 25 \) 或 \( r < 0 \)？不，模值r在0到T3之间。红灯条件是 \( 25 < r < T_3 \))。 我们需要找到 \( T_3 \) 使得存在整数 \( k \) 满足 \( r = 120 - k T_3 \in (25, T_3) \)。 尝试 \( k=2 \)：则 \( r = 120 - 2T_3 \)，条件为 \( 25 < 120 - 2T_3 < T_3 \)。解左边：\( 120 - 2T_3 > 25 \Rightarrow 2T_3 < 95 \Rightarrow T_3 < 47.5 \)。解右边：\( 120 - 2T_3 < T_3 \Rightarrow 120 < 3T_3 \Rightarrow T_3 > 40 \)。所以 \( 40 < T_3 < 47.5 \)。 尝试 \( k=3 \)：则 \( r = 120 - 3T_3 \)，条件为 \( 25 < 120 - 3T_3 < T_3 \)。解左边：\( 120 - 3T_3 > 25 \Rightarrow 3T_3 < 95 \Rightarrow T_3 < 31.67 \)。解右边：\( 120 - 3T_3 < T_3 \Rightarrow 120 < 4T_3 \Rightarrow T_3 > 30 \)。所以 \( 30 < T_3 < 31.67 \)。 其他k值会导致T3更小或负值，无意义。因此，第三路口周期 \( T_3 \) 的可能范围是 \( (30, 31.67) \cup (40, 47.5) \)（单位：秒）。 变式三（综合拔高）：
(1) 车速 \( v = 50 \, \text{km/h} = \frac{125}{9} \, \text{m/s} \approx 13.89 \, \text{m/s} \)。
从A到B时间：\( t_{AB} = \frac{1000}{125/9} = 72 \, \text{s} \)。
从A到C时间：\( t_{AC} = \frac{2000}{125/9} = 144 \, \text{s} \)。
为使车辆在B路口遇到绿灯，需 \( (72 - \phi_B) \mod T \in [0, G] \)。最简设置是让车辆到达B时恰逢绿灯起点，即 \( 72 - \phi_B = 0 \)（模T意义下），可取 \( \phi_B = 72 \mod T \)。同理，对C路口，需 \( 144 - \phi_C = 0 \)（模T意义下），可取 \( \phi_C = 144 \mod T \)。
为简化，通常选择周期 \( T \) 能整除行驶时间差。例如，若取 \( T = 72 \, \text{s} \)，则 \( \phi_B = 0 \)（与A同步），\( \phi_C = 144 \mod 72 = 0 \)。但这样B、C与A完全同步，从A到C需144s，是2个周期，也能遇到绿灯。这是一种解。
更一般的，只要 \( 72 - \phi_B = mT \) 且 \( 144 - \phi_C = nT \)（m, n为整数），且 \( \phi_B, \phi_C \in [0, T) \)，即可。
(2) 反向车流（C->B->A）速度相同，行驶时间相同。假设反向绿波设计是让反向车在C路口 \( t=0 \) 遇到绿灯，则到达B路口时间为 \( 72 \, \text{s} \)，到达A路口时间为 \( 144 \, \text{s} \)。
若要求反向车流每个路口都恰好遇到红灯起点，则到达B路口的时间 \( 72 \, \text{s} \) 应满足 \( (72 - \phi_B) \mod T = G \)（即刚变红灯的时刻，这里我们取红灯起点为绿灯结束时刻）。因为相位差 \( \phi_B \) 是为正向绿波设置的，所以 \( \phi_B \) 已知（例如上一步取的值）。
同理，到达A路口的时间 \( 144 \, \text{s} \) 应满足 \( (144 - 0) \mod T = G \)（因为A路口反向看相位差为0？这里需要统一。正向设计时，A路口相位为0。对于反向车，在A路口遇到的信号相位，是正向设计的反向观察，它与正向A的相位差是固定的。更严谨的，设路口信号在t时刻的状态：绿灯当且仅当 \( (t - \phi) \mod T \in [0, G) \)，其中 \( \phi \) 是该路口绿灯开始的参考时间。
正向设计时，A: \( \phi_A = 0 \)， B: \( \phi_B \)， C: \( \phi_C \)。
反向车从C（\( \phi_C \)）出发，在t=0遇到C路口绿灯，即 \( (0 - \phi_C) \mod T \in [0, G) \)。
到达B路口时间 \( t=72 \)，遇到红灯起点要求：\( (72 - \phi_B) \mod T = G \)。
到达A路口时间 \( t=144 \)，遇到红灯起点要求：\( (144 - \phi_A) \mod T = G \)，即 \( 144 \mod T = G \)。
同时，正向绿波条件给出：\( (72 - \phi_B) \mod T = 0 \)（假设取最简情况，到达时恰为绿灯起点）。
比较反向红波条件：\( (72 - \phi_B) \mod T = G \)。
这就要求 \( 0 \equiv G \ (\text{mod} \ T) \)，但由于 \( 0 \leq G < T \)，这迫使 \( G = 0 \)，这不合理。因此，我们需放松“恰好红灯起点”的条件为“遇到红灯”，即 \( (t - \phi) \mod T \in [G, T) \)。 要使反向全程红灯，一个典型方法是让反向到达每个路口的时间都落在该路口信号周期的同一个相对位置，且这个位置在红灯区间。例如，取 \( T = 90 \, \text{s} \)，\( \phi_B = 72 \mod 90 = 72 \)，\( \phi_C = 144 \mod 90 = 54 \)。 检查反向：从C（\( \phi_C=54 \)）出发，t=0时状态：\( (0-54) \mod 90 = 36 \)，若G<36，则是绿灯？不行，需要t=0时是绿灯（我们假设反向从C绿灯开始出发）。所以需要调整。 更系统的：设反向车在C路口于其绿灯中点出发（简化，设t=0时C路口绿灯已开始一段时间d），则到达B时间t=72，状态 \( (72 - \phi_B + d) \mod T \)，到达A时间t=144，状态 \( (144 - 0 + d) \mod T \)。 要求这两个状态都在 \([G, T)\) 区间内。 同时，正向绿波条件：\( (72 - \phi_B) \mod T = 0 \) 和 \( (144 - 0) \mod T = 0 \)（取最简情况）。 由后者得 \( T \) 是 \( 144 \) 的因数，如 \( T=72, 48, 36 \) 等。 取 \( T=72 \)，则 \( \phi_B = 0 \)。正向绿波成立。 反向：状态为 \( (72 - 0 + d) \mod 72 = d \mod 72 \) 和 \( (144 - 0 + d) \mod 72 = d \mod 72 \)。 要使两者都在 \([G, 72)\)，只需 \( d \in [G, 72) \)。同时，为了保证反向从C路口能绿灯出发，需要 \( (0 - \phi_C + d) \mod 72 \in [0, G) \)。其中 \( \phi_C = 144 \mod 72 = 0 \)。 即 \( d \mod 72 \in [0, G) \)。 这产生了矛盾：要求 \( d \in [G, 72) \) 又要求 \( d \mod 72 \in [0, G) \)。因为 \( d < 72 \)，所以 \( d \mod 72 = d \)。因此要求 \( d \geq G \) 且 \( d < G \)，不可能同时成立。 结论：在经典的对称周期信号设置下，无法实现单向完美绿波的同时，让反向车流陷入每个路口都是红灯的完美红波。但可以通过精心选择 \( T, G, \phi \) 和车速，使反向车流遇到红灯的概率非常大，或等待时间很长，这体现了交通设计中的方向性优先级。