一杯咖啡讲透“置换问题”：零基础小白的通关秘籍（附口诀）：典型例题精讲
适用年级
奥数
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
💡 阿星起步：置换问题 的底层逻辑
想象一下，你冲了一杯巨浓的黑咖啡，苦得怀疑人生。你决定兑点水让它变淡。于是你喝掉半杯，再加满水。现在的咖啡味，是不是比刚才淡了？但肯定不是白开水，因为杯子里还残留着一半原来的咖啡。
好，现在你再喝掉半杯（已经是兑过水的），再加满水。味道是不是更淡了？这个“冲淡”的过程，就是典型的“置换问题”。
它的数学本质，就像一个等比数列：
- 每一次操作（喝掉一部分再补满），都像把当前的“浓度”乘以一个固定的折扣。
- 这个“折扣”就叫残留率。比如每次倒掉 \( \frac{1}{3} \)，就意味着留下 \( \frac{2}{3} \)。这个 \( \frac{2}{3} \) 就是残留率。
- 于是，浓度就会像坐滑梯一样：初始浓度 × 残留率 × 残留率 × ...，呈指数级衰减。
所以，我们学它，就是为了掌握这种“按比例逐步替换”过程的万能钥匙。无论是换水、兑酒、还是化学反应，只要抓住“残留率”，一切迎刃而解。
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】一个容器装满了1000克浓度为80%的糖水。每次倒出200克糖水，再加入200克清水。如此反复操作3次后，容器中糖水的浓度是多少？
阿星拆解：
1. 找核心：残留率。 总质量是1000克，倒出200克，就是倒出了 \( \frac{200}{1000} = \frac{1}{5} \)。那么，剩下的就是 \( 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \)。这个 \( \frac{4}{5} \) 就是每次操作的残留率。
2. 套用“指数衰减”模型： 每次操作后，糖的浓度都变成操作前的 \( \frac{4}{5} \)倍。
3. 列式计算： 初始浓度是 \( 80\% \)。
操作1次后：\( 80\% \times \frac{4}{5} \)
操作2次后：\( 80\% \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \)
操作3次后：\( 80\% \times (\frac{4}{5})^3 \)
4. 计算： \( 0.8 \times (\frac{64}{125}) = 0.8 \times 0.512 = 0.4096 \)
5. 得出答案： 所以最终浓度是 \( 40.96\% \)。
【进阶例题】从一瓶2升的纯果汁中，倒出500毫升后，用纯净水补满。重复此操作2次（共操作3次）。问最终果汁的浓度。
阿星敲黑板：
陷阱在此！ 题目里的单位不统一！“升”和“毫升”是第一个坑。第二个“坑”是，它问的是“浓度”，对于纯果汁兑水来说，浓度就是果汁的体积占比。
化解大法：
1. 统一单位： 2升 = 2000毫升。容器总容量是2000毫升。
2. 找残留率： 倒出500毫升，剩下 \( 2000 - 500 = 1500 \) 毫升。所以残留率是 \( \frac{1500}{2000} = \frac{3}{4} \)。
3. 理解“浓度”： 初始是纯果汁，浓度可看作 \( 100\% \) 或 \( 1 \)。
4. 完整计算： 操作3次后，果汁的残留比例（即浓度）为：
\( 1 \times (\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64} \)
5. 得出答案： 最终浓度是 \( \frac{27}{64} \)。如果想化成百分数，大约是 \( 42.1875\% \)。
【拔高例题】一个桶里有10升浓度为60%的盐水。每次先加入4升清水，然后再混合均匀倒出4升盐水。这样操作2次后，桶中盐水的浓度是多少？
思维迁移：
这题看起来和前面“先倒后加”不一样，是“先加后倒”。别慌，我们抓住本质：每次操作后，盐量是原来的多少倍？
1. 分析单次操作：
初始：10升，盐 = 10 \times 60\% = 6 (升，指盐的体积)。
第一步：加4升清水。 总溶液变成 10 + 4 = 14 升。盐没增加，还是6升，所以新浓度 = \( \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \)。
第二步：倒出4升盐水。 此时桶内是14升均匀的盐水，倒出4升，相当于倒出了总盐量的 \( \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \)，所以留下了 \( 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)。
所以，一次操作后，剩下的盐量 = 原来盐量 × 新浓度对应的残留比例？不对！ 精算一下：剩下的盐量 = 6 × \( \frac{5}{7} \)。
2. 找到“残留率”： 我们发现，盐量从6变成了 \( 6 \times \frac{5}{7} \)。这个 \( \frac{5}{7} \) 就是针对盐量的单次操作残留率吗？再验证一步：它与初始浓度无关，只和“加水量”与“操作后的总液量”有关。
通用公式推导（可选看）： 设原有溶液V升，每次加A升水，再倒出A升。单次操作后，盐的残留率 = \( \frac{V}{V+A} \)。本题 V=10， A=4， 所以残留率 = \( \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \)。
3. 解题： 初始盐量 = 6 升。操作2次后，盐量 = \( 6 \times (\frac{5}{7})^2 = 6 \times \frac{25}{49} = \frac{150}{49} \) 升。
此时溶液总体积恢复为10升（因为先加4升后倒4升，总量不变）。
所以最终浓度 = \( (\frac{150}{49}) / 10 = \frac{150}{490} = \frac{15}{49} \)。
4. 得出答案： 浓度约为 \( 30.61\% \)。看，虽然操作顺序变了，但“盐量按固定比例（残留率）衰减”的等比数列核心丝毫未变！
📝 阿星必背口诀：
置换问题不复杂，抓住核心残留率。
操作有残留，每次乘系数，
认清初始值，公式直接入。
🚀 举一反三：变式挑战
一个1200毫升的酒杯，盛满浓度为45%的威士忌。每次喝掉100毫升后，用可乐补满。请问喝完第4口（即操作4次）后，杯中的酒精度（浓度）是多少？
一缸100升的盐水，经过多次“舀出10升后补满清水”的操作后，浓度降到了最初的 \( \frac{81}{100} \)。请问一共操作了几次？
实验室有一个10千克浓度为98%的硫酸溶液。每次操作是：先加入10千克浓度为30%的硫酸，混合均匀后，再取出10千克的混合液。如此操作一次后，容器内硫酸的浓度是多少？（提示：先求新浓度，再找取出时的残留率）
解析与答案
【详尽解析】
入门例题答案： \( 40.96\% \)
进阶例题答案： \( \frac{27}{64} \) 或约 \( 42.19\% \)
拔高例题答案： \( \frac{15}{49} \) 或约 \( 30.61\% \)
变式挑战解析：
- 变式一： 残留率 = \( (1200-100)/1200 = 11/12 \)。操作4次后浓度 = \( 45\% \times (11/12)^4 \)。计算：\( 0.45 \times (14641/20736) \approx 0.45 \times 0.7062 \approx 0.3178 \)。答案约为 \( 31.78\% \)。
- 变式二： 残留率 = \( (100-10)/100 = 0.9 \)。设操作n次，有 \( (0.9)^n = 81/100 = 0.81 \)。因为 \( 0.9^2 = 0.81 \)，所以 \( n=2 \)。答案：操作了2次。
- 变式三：
第一步：加入后混合。总重20千克。盐（硫酸）量 = \( 10 \times 98\% + 10 \times 30\% = 9.8+3=12.8 \) 千克。新浓度 = \( 12.8 / 20 = 64\% \)。
第二步：倒出10千克。残留率 = \( (20-10)/20 = 1/2 \)。
操作一次后，硫酸量 = \( 12.8 \times (1/2) = 6.4 \) 千克。总溶液重10千克。
所以最终浓度 = \( 6.4 / 10 = 64\% \)。（有趣的是，本例中一次操作后的浓度恰好等于混合后的新浓度）答案：\( 64\% \)。
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF