牛吃草问题一看就懂：阿星模型图解“草在长”核心（附口诀练习）| 小学数学攻略：典型例题精讲
适用年级
五年级
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一片神奇的草地。它不像饼干，吃一块少一块。它更像一个有进水口的水池——牛在“排水”（吃草），但草自己却在“进水”（生长）。问题瞬间就变了！
我们要求的是最开始就存在的“原草量”，就像水池里最开始存的水。牛每天吃的量是已知的，但有一部分吃掉的，其实是当天新长出来的草。所以，真正从“原草量”里消耗掉的部分，是牛吃草的速度减去草自己生长的速度。
👀 看图说话：变化的草原
``mermaid
flowchart TD
A[“原草量 (固定水库)”] --> B[“每天：牛吃草
（排水速度）”]
C[“每天：草生长
（进水速度）”] --> D[“每天净消耗的原草
（有效排水速度）”]
B --> D
D --> E[“消耗完毕所需天数”]
F[“原草量 ÷ 每天净消耗 = 天数
原草量 = （牛吃速 - 草长速） × 天数”]
style A fill:#fef3c7,stroke:#d97706
style C fill:#dcfce7,stroke:#16a34a
style D fill:#c7d2fe,stroke:#3730a3
style F fill:#fce7f3,stroke:#be185d
关键点拨：
图中那个绿色的“草生长”箭头就是最容易被忽略的“隐形数字”！如果把它当成0，问题就变成了简单的除法，那就掉进陷阱了。公式 原草量 = (牛吃速 - 草长速) × 天数 的核心就是：牛必须要比草长得快，才能吃完。如果牛吃得还没草长得快，这片草地就永远吃不完。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】一片草地，10头牛可以吃20天。问：如果只有5头牛，可以吃多少天？（我们先假设知道草每天均匀生长）
阿星的显微镜（画图验证）：
我们先给草的生长速度一个具体数，这样好想象。假设每头牛每天吃1份草，草每天长5份。
- 10头牛每天吃：10 × 1 = 10份
- 每天草长：5份
- 所以，每天净消耗原草：10 - 5 = 5份
- 吃了20天，总消耗原草：5 × 20 = 100份
现在换5头牛：
- 5头牛每天吃：5 × 1 = 5份
- 草每天依然长：5份
- 天啊！每天净消耗原草：5 - 5 = 0份！
原草有100份，但每天净消耗为0，这意味着5头牛刚好吃掉每天新长的草，原草一点没动。所以，这5头牛可以永远吃下去，或者说“无数天”。
标准算式（求原草量）：设每头牛每天吃草为1份。
草每天生长量 = \( (10 \times 20 - 5 \times 天数) \div (20 - 天数) \)
但我们已知草长速为5份/天，则：
原草量 = \( (10 - 5) \times 20 = 100 \) (份)
【易错陷阱】一片草地，15头牛10天可以吃完，21头牛5天可以吃完。问：多少头牛，12天可以吃完？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：直接用“总草量÷天数”求牛数。比如错误地认为总草量是15×10=150份，然后用150÷12=12.5头牛。
图解陷阱：错在把草地当成了“静态饼干”！没有看到两次吃草过程中，草生长的天数不同，导致长出的新草总量不同。10天里长出的新草，远比5天里长出的多。
正确思路：把“原草量”和“草长速”这两个隐形家伙找出来！
设每头牛每天吃1份草，草每天长\( x \)份，原草量为\( y \)份。
根据两种情况列方程：
① 15头牛吃10天：\( y = (15 - x) \times 10 \)
② 21头牛吃5天：\( y = (21 - x) \times 5 \)
解方程：\( (15 - x) \times 10 = (21 - x) \times 5 \)
解得：\( x = 9 \)（草每天长9份），代入得 \( y = 60 \)（原草60份）。
现在问？头牛吃12天：\( 60 = (牛数 - 9) \times 12 \)
解得：牛数 = 14。
【高手进阶】火车站检票口，排队人数在均匀增加。若开4个检票口，30分钟清空队伍；若开5个检票口，20分钟清空。问：若开7个检票口，几分钟清空？
思维迁移：这根本不是火车站，这就是一片“会长的草地”！
“原草量” = 开始排队时的初始排队人数
“草长速” = 每分钟新来的旅客数
“牛吃速” = 每个检票口每分钟的检票人数（假设为1） × 检票口数量
看，模型完全一样！套用阿星公式即可解决。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
牛吃草，草在长，动静结合是真相。
原草如水库存量，牛吃草长是流向。
先求草速破迷障，再算原草心里亮。
净效相减是密钥，套入公式即通关。
🚀 举一反三：巩固练习
一片牧场，27头牛6天吃完；23头牛9天吃完。问：21头牛，几天吃完？
（陷阱识别）一个水池，泉水匀速涌出。用5台抽水机20小时抽干，用8台抽水机15小时抽干。现在想10小时抽干，需要几台抽水机？（提示：注意“抽干”意味着池中原有水为0吗？）
（生活应用）超市收银台前顾客匀速排队。若开3个收银台，40分钟无排队；若开4个收银台，25分钟无排队。问：若开6个收银台，多少分钟无排队？
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：12天
练习二：14台
练习三：10分钟
【解析概要】
练习一：设草每天长\( x \)份，原草量\( y \)份。
列方程：\( y=(27-x)\times6 \)， \( y=(23-x)\times9 \)。
解得\( x=15 \)， \( y=72 \)。再求21头牛：\( 72 \div (21-15) = 12 \)天。
练习二：此为“抽干涌泉”问题，原池水量不为0。设每台抽水机效率1，泉水涌出速度\( x \)，池中原有水\( y \)。
列方程：\( y=(5-x)\times20 \)， \( y=(8-x)\times15 \)。
解得\( x=2 \)， \( y=60 \)。再求10小时抽干：设需\( N \)台， \( 60=(N-2)\times10 \)，得\( N=14 \)。
练习三：迁移牛吃草模型。设每分钟来\( x \)人，原排队\( y \)人，一个收银台每分钟处理1人。
列方程：\( y=(3-x)\times40 \)， \( y=(4-x)\times25 \)。
解得\( x=\frac{8}{3} \)， \( y=\frac{280}{3} \)。再求6个收银台：时间\( T = \frac{280}{3} \div (6 - \frac{8}{3}) = 10 \)分钟。
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