决策论深度解题攻略：你的“心币”就是最优解

💡 阿星精讲：决策论 的本质

想象一下，当你抛出一枚硬币时，重要的不是它落地后的正反面，而是它在空中时，你心中期望的那个结果。这个“期望”，其实就是你的大脑在瞬间完成了一场复杂的计算：权衡了所有可能结果 \( (x_1, x_2, ..., x_n) \) 及其发生的概率 \( (p_1, p_2, ..., p_n) \)，并快速评估了每个结果对你的“效用” \( U(x_i) \)。决策论，就是把这个潜意识里的博弈模型，用数学语言 \( E[U] = \sum_{i=1}^n p_i \cdot U(x_i) \) 显式地表达出来。它告诉我们，理性决策的核心在于最大化期望效用，而那个你“希望”出现的面，往往就是你的直觉处理器为你算出的最优解。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： 选择方案A，其EMV为 \( 48 \)（千元）。

变式一解析：
计算EMV：
作物甲： \( EMV_{\text{甲}} = 0.7 \times 800 + 0.3 \times (-200) = 560 - 60 = 500 \)。
作物乙： \( EMV_{\text{乙}} = 300 \)。
因为 \( 500 > 300 \)，应选择作物甲。

变式二解析：
设方案A与方案B无差异，即 \( EMV_A = EMV_B \)。
列方程： \( p \times 100 + (1-p) \times (-30) = 20 \)。
解得： \( 100p - 30 + 30p = 20 \) → \( 130p = 50 \) → \( p = \frac{50}{130} = \frac{5}{13} \approx 0.3846 \)。
即当市场景气概率约为 \( 0.3846 \) 时，两方案期望价值相等。

变式三解析：
在 \( p = \frac{5}{13} \) 时，方案A的期望效用（EU）为：
\( EU_A = \frac{5}{13} \times U(100) + \frac{8}{13} \times U(0) \)。注意，亏损 \( 30 \) 千在此效用函数下被视为收益为 \( 0 \)（因为函数定义域和现实约束）。
\( U(100) = \sqrt{100} = 10 \)， \( U(0) = 0 \)。
故 \( EU_A = \frac{5}{13} \times 10 + \frac{8}{13} \times 0 = \frac{50}{13} \approx 3.846 \)。
方案B的效用为： \( U(20) = \sqrt{20} \approx 4.472 \)。
比较得： \( EU_B \approx 4.472 > EU_A \approx 3.846 \)。
因此，这位风险厌恶者（其效用函数为凹函数）会放弃具有相同EMV但存在风险的方案A，转而选择确定性的方案B。这解释了为何在相同数学期望下，不同风险偏好会导致不同决策。