初一数学期末急救：单项式的系数与次数易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 单项式 \( -\frac{3x^2y}{5} \) 的系数是\_\_\_\_\_，次数是\_\_\_\_\_。

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：1. 系数写成 \( -\frac{3}{5}x^2y \)，误将字母包含在内。2. 次数写成 \( 2 \) 或 \( 5 \)，只算了 \( x \) 的指数或把分母5当成了字母的指数。

✅ 阿星解析：

• 第一步：识别系数。系数是数字因数，包括符号。所以数字部分是 \( -\frac{3}{5} \)。字母 \( x^2y \) 属于次数部分，不能放进系数。所以系数是 \( -\frac{3}{5} \)。
• 第二步：计算次数。次数是所有字母的指数之和。字母 \( x \) 的指数是 \( 2 \)，字母 \( y \) 的指数是 \( 1 \)（隐藏的）。所以次数是 \( 2 + 1 = 3 \)。

答案：系数 \( -\frac{3}{5} \)，次数 \( 3 \)。

【易错题2：思维陷阱】 单项式 \( -\frac{(π-3) a^3 b^2}{2} \) 的系数是\_\_\_\_\_，次数是\_\_\_\_\_。

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：1. 认为 \( π \) 是字母，将 \( (π-3) \) 视为字母部分，从而判定系数是 \( -\frac{1}{2} \)，次数是 \( 6 \)（(π-3)指数1，a指数3，b指数2）。2. 知道π是数字，但计算 \( π-3 \) 得出具体小数，忽视了它作为常数整体的身份。

✅ 阿星解析：

• 第一步（关键）：识别常数。\( π \) 是一个常数，\( 3 \) 也是常数。所以 \( (π-3) \) 是一个常数整体，它是系数的一部分。
• 第二步：确定系数。系数是所有的常数因数相乘：符号“-”，常数 \( \frac{1}{2} \)，常数 \( (π-3) \)。所以系数是 \( -\frac{π-3}{2} \)。（不必也不可化为小数）
• 第三步：计算次数。字母只有 \( a \) 和 \( b \)，它们的指数和是 \( 3 + 2 = 5 \)。常数 \( (π-3) \) 不是字母，它的指数（1）不参与次数计算。

答案：系数 \( -\frac{π-3}{2} \)，次数 \( 5 \)。

【易错题3：大题陷阱】 已知单项式 \( -\frac{2}{7}x^{3m-1}y^2 \) 的次数与单项式 \( 5x^7y^{n+1} \) 的次数相同，且系数互为相反数。

1. 求 \( m \)、\( n \) 的值。
2. 求这两个单项式的和。

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：1. 混淆“系数”和“次数的系数”，将 \( 3m-1 \) 当成次数的一部分去建立等式。2. 在建立“系数互为相反数”的等式时，忽略了第一个单项式的负号，写成 \( \frac{2}{7} = 5 \)。3. 求两单项式和时，无视“同类项”条件，直接系数相加。

✅ 阿星解析：

• 第一步：明确概念。单项式 \( -\frac{2}{7}x^{3m-1}y^2 \) 的次数是字母指数和：\( (3m-1) + 2 = 3m+1 \)。系数是 \( -\frac{2}{7} \)。单项式 \( 5x^7y^{n+1} \) 的次数是 \( 7 + (n+1) = n+8 \)，系数是 \( 5 \)。
• 第二步：根据条件列方程。
  1. “次数相同”：\( 3m + 1 = n + 8 \) ……①
  2. “系数互为相反数”：\( -\frac{2}{7} + 5 = 0 \)？ 错！应是 \( (-\frac{2}{7}) \) 的相反数等于 \( 5 \)，即 \( -(-\frac{2}{7}) = 5 \) 或 \( \frac{2}{7} = 5 \)？ 这显然不成立！仔细看，系数 \( -\frac{2}{7} \) 的相反数是 \( \frac{2}{7} \)。条件说“系数互为相反数”，意味着第一个的系数 \( = - \)（第二个的系数），即 \( -\frac{2}{7} = -5 \)。这也不成立！陷阱在此！ 重新审题：题目只说“次数相同”且“系数互为相反数”，并没有说这两个单项式是同类项。因此，它们的字母部分（\( x^{3m-1}y^2 \) 和 \( x^7y^{n+1} \)）可以不同。我们只需分别建立关于系数和次数的方程。
     
     由“系数互为相反数”得：\( -\frac{2}{7} + 5 = 0 \)？ 不，是 \( (-\frac{2}{7}) \) 和 \( 5 \) 互为相反数。这要求 \( -\frac{2}{7} = -5 \) 或 \( 5 = -(-\frac{2}{7}) \)。显然 \( -\frac{2}{7} eq -5 \)。发现矛盾！ 这意味着什么？意味着我们解出的 \( m, n \) 必须使两个单项式变成同类项，它们的和才有意义（第二问），且系数才可能实际“互为相反数”（相加为0）。所以，隐含条件是：它们首先是同类项。
  3. 补充隐含条件：同类项。 同类项要求字母相同，且相同字母的指数也相同。所以：
     \( x \) 的指数：\( 3m-1 = 7 \) ……②
     \( y \) 的指数：\( 2 = n+1 \) ……③
• 第三步：解方程。由②式得 \( 3m=8 \)，\( m=\frac{8}{3} \)。由③式得 \( n=1 \)。将 \( m=\frac{8}{3} \) 代入①式检验：左边 \( 3*\frac{8}{3}+1=9 \)，右边 \( 1+8=9 \)，成立。
• 第四步：求单项式的和。将 \( m=\frac{8}{3}, n=1 \) 代入：
  
  第一个单项式：\( -\frac{2}{7}x^{3*\frac{8}{3}-1}y^2 = -\frac{2}{7}x^{7}y^{2} \)
  
  第二个单项式：\( 5x^7y^{1+1} = 5x^7y^{2} \)
  
  它们是同类项。和 = \( (-\frac{2}{7} + 5)x^7y^2 = (\frac{-2+35}{7})x^7y^2 = \frac{33}{7}x^7y^2 \)

答案： \( m=\frac{8}{3}, n=1 \)；和 \( \frac{33}{7}x^7y^2 \)。