二年级数学期末急救：搭配问题（握手/排数）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲
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2025-12-21
阿星精讲：搭配问题（握手/排数） 的核心避坑原理
- 概念重塑：大家好，我是阿星！今天我们用“合照”和“握手”来打通任督二脉。想象一下：“排数字”就像“拍合照”——谁站左边，谁站右边，位置变了，就是一张不同的照片（12和21是俩不同的数）。“握手”就像“交朋友”——我跟你握手，跟你跟我握手，是同一份友谊，只算一次！所以，关键看“交换位置后，还算不算新情况”。算，就是“拍照排数”；不算，就是“握手交友”。
- 避坑口诀：合照顺序分先后，握手双人不算单。排数换位是新数，握手交换只一次！
⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”
- ❌ 陷阱一（概念混淆型）：把“握手”问题当成“排数”问题来算，给每种组合都算了两次。比如，3个人握手，错误算法：\(3 \times 2 = 6\) 次。→ ✅ 正解：握手不分顺序，我和你握只算1次。正确算法：第一个人可以和后面2人握，第二个人只能和剩下的1人握（和第一个的已经算过了），所以是 \(2+1=3\) 次。核心是“不重复”。
- ❌ 陷阱二（视觉误导型）：在画图解决“比赛”、“通话”等问题时，画线表示关系，但忘记“自己不能和自己比/打电话”，或者画线时漏掉了某些组合。→ ✅ 正解：画图时，先把所有对象（人、队）画成点。连线时，不能从自己连到自己，确保每两个点之间只有一条线（代表一次握手或一场比赛）。
- ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在解决稍复杂的组合问题时（如“3件上衣和2条裤子有几种穿法”），用加法 \(3+2=5\) 而不是乘法 \(3 \times 2 = 6\)。或者，在既有“握手”又有“排数”的综合题里，把两个数字混在一起加减。→ ✅ 正解：“搭配穿法”属于“拍照”型，每件上衣都可以配每条裤子，所以用乘法。综合题必须分开考虑，先确定每一步是“握手”还是“拍照”，再用对应方法算，最后根据题目要求相加或相乘。
🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）
【易错题1：概念陷阱】 小星、小光、小亮三个好朋友见面。
- 如果他们每两个人之间都要握一次手，一共要握几次手？
- 如果他们站成一排拍一张合照，一共有多少种不同的站法？（不考虑面朝方向）
💀 错误率：85%
❌ 常见错误：两问都答成 \(3 \times 2 = 6\)。学生觉得“每两个人”就是“每个人和另外两人握手”，再一乘，或者觉得“三个人排队”就是“三个位置各选一人”，也一乘。
✅ 阿星解析：
- A问（握手）：看上面左图！这是“握手交友”型。小星和小光握了手（红色实线），这已经包含了小光和小星握手的情况，所以只能算1次。我们数线：小星-小光，小星-小亮，小光-小亮。一共3条实线，所以是3次。红色虚线表示已经计算过的关系，不用再算。列式：\(2 + 1 = 3\)（次）。
- B问（拍照）：看上面右图！这是“拍合照”型。我们要给三个人排位置：左、中、右。第一步选左边的人，有3种可能；第二步选中间的人，因为左边已经选走1个，剩下2种可能；第三步选右边的人，只剩下1种可能。所以是 \(3 \times 2 \times 1 = 6\)（种）。右边列出了所有6种站法，换位置就是新情况！
看，一模一样的三个人，问题不同，算法完全不同！核心就是阿星口诀：“握手交换只一次，合照换位是新数”。
【易错题2：思维陷阱】 二年级4个班进行足球单循环赛（即每两个班之间都要比赛一场），一共要比赛多少场？
💀 错误率：90%
❌ 常见错误： \(4 \times 3 = 12\)（场）。学生认为每个班都要和其他3个班比赛，4个班就是 \(4 \times 3\)。
✅ 阿星解析： 这其实是“握手”问题的变身！“单循环赛”就是“每两个班之间握一次手（赛一场）”。错误算法中 \(4 \times 3 = 12\) 是把“1班对2班”和“2班对1班”算成两场了，但实际这只是一场比赛。
我们用上图连线法来数：把4个班看成4个点，每两个点之间连一条线代表一场比赛。
- 1班需要和2、3、4班比赛，画出3条黑实线。
- 2班需要和3、4班比赛（和1班的已经画过了），再画出2条黑实线。
- 3班需要和4班比赛，画出最后1条黑实线。
一共数出 \(3+2+1=6\) 条实线，所以是6场。图中红色虚线是一种常见的错误连线，它试图连接1班和4班，但这条线已经作为1班连线的一部分被画过了（左上到右下那条黑实线），再画就是重复！记住阿星的话：“自己不能和自己比，连线只连一次就够啦！”
【易错题3：大题陷阱】 从 4、7、9 这三张数字卡片中，任意取出两张。
- 可以组成多少个不同的两位数？
- 可以组成多少个不同的加法算式？（如 4+7 和 7+4 视为同一个算式）
- 如果三张卡片中再加入一张数字卡片“0”，用这四张卡片组成两位数，十位上的数字不能是0，一共能组成多少个不同的两位数？
💀 错误率：95%
❌ 常见错误：
- A问：答成3个（只列出47，49，79）或答成 \(3+2+1=6\) 个。
- B问：答成6个（把4+7和7+4当成两个算式）。
- C问：答成 \(4 \times 3 = 12\) 个（忽略了0不能在十位）。
✅ 阿星解析： 这是一道“排数”与“握手”的混合应用题，外加一个限制条件。
- A问（组成两位数）：这是“拍合照”型，顺序重要！47和74是两个不同的数。我们固定十位来思考（见上图下半部分）：十位可以是4、7、9。
十位是4：个位可以是7或9 → 47，49
十位是7：个位可以是4或9 → 74，79
十位是9：个位可以是4或7 → 94，97
所以一共 \(3 \times 2 = 6\) 个。图中只画出了一半的组合（实线连接），虚线连接表示交换位置后产生的另一半数（74，94，97）。 - B问（组成加法算式）：这是“握手”型！因为加法有交换律，4+7 和 7+4 的和一样，我们视为同一个算式。问题就变成“从三个数中选两个数相加，有多少种不同的选法？”这就是三张卡片两两“握手”。直接数组合：4和7，4和9，7和9。一共 3个不同的加法算式。列式：\(2+1=3\)（个）。
- C问（加入0后组两位数）：这是带限制的“拍合照”型。关键限制：十位不能是0（0不能当“排头”）。四张卡片：0，4，7，9。
第一步选十位：不能选0，只能从4，7，9中选，有3种选择。
第二步选个位：从剩下的3张卡片中选（包括0！），有3种选择。
所以一共能组成 \(3 \times 3 = 9\) 个不同的两位数。错误算法 \(4 \times 3 = 12\) 错在第一步把0也当成了十位的选择。
这道题完美融合了所有易错点，做对的关键就是步步为营，先判断类型，再考虑限制。
🚀 易错专项训练（你能全对吗？）
第一关：火眼金睛（判断对错 5题）
- 5个同学，每两人通一次电话，一共要通 \(5 \times 4 = 20\) 次电话。
- 用 1、3、5 三个数字能组成6个不同的两位数。
- 3个小朋友进行乒乓球单打比赛，每两人赛一场，一共要赛3场。
- 从苹果、香蕉、梨三种水果中选两种送给小明，有3种不同的选法。
- 用 0、2、8 三张数字卡片摆两位数，可以摆出4个。
第二关：防坑演练（填空 5题）
- 二年级有5个班举行拔河比赛，如果每两个班都要比赛一次，一共要比赛（ ）场。
- 小星有3顶不同的帽子和2条不同的围巾，一顶帽子配一条围巾，一共有（ ）种不同的搭配方法。
- 从小星、小光、小亮、小云这4人中选2人代表班级参加活动，一共有（ ）种不同的选法。
- 用 2、0、6、8 四张数字卡片组成两位数，十位上的数不能是0，能组成（ ）个不同的两位数。
- 一个小组有6个人，他们过年时每两人互发一条祝福短信，这个小组一共要发（ ）条短信。（提示：我发给你一条，你发给我一条，这是两条不同的短信哦！）
答案与详细解析
第一关：火眼金睛
- ❌ 错误。 这是“握手”型（通话）。正确算法：\(4+3+2+1=10\)（次），或理解 \(5 \times 4 \div 2 = 10\)（次）。
- ✅ 正确。 这是“排数”型。\(3 \times 2 = 6\) 个，分别是13，15，31，35，51，53。
- ✅ 正确。 这是“握手”型（单打比赛）。3个人，比赛场次为 \(2+1=3\)（场）。
- ✅ 正确。 这是“握手”型（选水果，不分顺序）。选法为：苹果香蕉、苹果梨、香蕉梨，共3种。
- ✅ 正确。 这是带限制的“排数”型。十位可以是2或8（2种），个位从剩下的两张卡片选（2种），所以是 \(2 \times 2 = 4\) 个。具体为：20，28，80，82。
第二关：防坑演练
- 10场。 解析：“拔河比赛”是“握手”型。5个班，比赛场次：\(4+3+2+1=10\)（场）。
- 6种。 解析：“帽子配围巾”是“拍照搭配”型，用乘法。\(3 \times 2 = 6\)（种）。
- 6种。 解析：“选代表”是“握手”型（选人不分顺序）。4选2，选法：\(3+2+1=6\)（种）。或理解：小星可以和另外3人组成3组，小光可以和剩下2人组成2组，小亮可以和最后1人组成1组，共6组。
- 9个。 解析：带限制的“排数”。十位可选2，6，8（3种），个位从剩下的3张卡中选（3种）。\(3 \times 3 = 9\)（个）。
- 30条。 解析：本题是陷阱！发短信是“排数/拍照”型，不是“握手”！我发给你（我是发送者，你是接收者），和你发给我（角色互换），是两条不同的短信。所以6个人，每人要给其他5个人发短信，共发 \(6 \times 5 = 30\)（条）。这题专门针对“握手”思维定式。
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