一看就懂！正方体涂色问题公式图解：角块、棱块、面心块到底怎么算？：典型例题精讲
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象你有一块巨大的、表面涂满红色油漆的“魔法豆腐”。现在，你用一把锋利的刀，沿着它的长、宽、高，把它均匀地切成了许多个一模一样的小方块。
这个“切开”的动作是关键！切开后，不同位置的小方块，身上“粘上”的红色面数就不同。我们给不同位置的小方块起个外号：
- 角块： 就像魔方的角，它原来就在大正方体的尖尖上。切开后，它有3个面是原来涂色的。
- 棱块： 它原来在大正方体的棱上，但不在角上。切开后，它有2个面是原来涂色的。
- 面心块： 它原来在每个面的正中心位置。切开后，它只有1个面是原来涂色的。
- 体内块： 它完全躲在大正方体的“肚子”里，切开后才暴露出来。它没有面是原来涂色的。
所以，我们数染色小方块的数量，其实就是数“切开后，身上有颜色的面数大于0的小方块”。
👀 看图说话：切开一个3×3×3的大魔方
关键点拨：
图中揭示了最易错的“隐形数字”——“刀数”与“段数”的关系。如果我们把每条边均匀切了n刀，那么每条边就会被分成(n+1)段。这个+1是因为两端的“端点”也算一段。总的小方块数不是 n³，而是 (n+1)³。同样，在计算棱块时，一条棱上的所有位置有 (n+1)个，去掉两端的2个角块，剩下的棱块就是 (n+1) - 2 = n-1个。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】一个棱长为3厘米的大正方体，表面涂色。把它切成棱长为1厘米的小正方体。问：三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？
阿星的显微镜
棱长3厘米，切成1厘米的小方块。意味着每条边被切了 3 ÷ 1 = 3-1 = 2 刀。所以，公式中的n = 2（切的刀数），每条边被分成n+1 = 3段。
标准算式：
• 三面涂色（角块）：8个（永远固定）
• 两面涂色（棱块）：12 × (n-1) = 12 × (2-1) = 12个
• 一面涂色（面心块）：6 × (n-1)² = 6 × (2-1)² = 6 × 1 = 6个
• 没有涂色（体内块）：(n-1)³ = (2-1)³ = 1³ = 1个
• 总块数验证：(n+1)³ = 3³ = 27，8+12+6+1=27 ✔
【易错陷阱】一个表面涂色的正方体，被切成125个完全相同的小正方体。请问两面涂色的小正方体有多少个？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错： 125 = 5³，所以n+1=5，n=4。错误地计算：12 × n = 12 × 4 = 48个。
图解陷阱： 这里125是总块数，对应(n+1)³。但计算棱块时，代入的必须是(n-1)，而不是n！图上的一条棱有5个位置，两端的2个是角块，中间3个才是棱块。所以棱块数是 5-2 = 3，对应公式就是 (n+1) - 2 = n-1。
正确思路：
由总块数125 = 5³，得 n+1 = 5，所以n = 4（切了4刀）。
两面涂色（棱块）数 = 12 × (n-1) = 12 × (4-1) = 12 × 3 = 36个。
【高手进阶】工人师傅给一个大型展览用的泡沫立方体（棱长2米）表面贴满红色装饰纸。为了方便运输，需要把它拆成棱长0.5米的小块。拆开后发现，有些小块上的红纸脱落严重（只要有红纸的面就算）。如果“脱落严重”的标准是至少有2个面有红纸，那么这样的小块有多少个？
思维迁移： 这本质上就是“正方体涂色”问题。“贴红纸”对应“染色”。“至少有2个面有红纸”包含了“2面涂色”和“3面涂色”两种情况。先计算刀数n：棱长2米 ÷ 0.5米 = 4段，所以n+1=4，n=3。然后计算：
三面涂色（角块）：8个
两面涂色（棱块）：12 × (n-1) = 12 × 2 = 24个
所以，至少有2个面有红纸的小块共有：8 + 24 = 32个。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
大块切小块，先看下几刀（n）。
角块永是八，棱块十二乘（n减一）。
面心六乘方（n减一的方），体内立方藏。
总数要记牢，（n加一）的立方是总帐。
🚀 举一反三：巩固练习
一个棱长4分米的正方体木块，表面涂蓝漆。切成棱长1分米的小正方体。求一面涂色的小方块个数。
一个表面涂色的正方体，切开后得到64个没有涂色的小正方体。请问原来这个大正方体被切了多少刀？（每条边切的刀数相同）
一块巨型巧克力，形状是正方体，外表裹着金箔。现在要把它均分给64个小朋友，需要切开。请问切完后，恰好有两面裹着金箔的巧克力小块有多少？（假设切割损耗不计）
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：24个
练习二：5刀
练习三：24块
【解析】
练习一： 棱长4分米切成1分米，每边分4段，n+1=4，故n=3。一面涂色数 = 6 × (n-1)² = 6 × (3-1)² = 6 × 4 = 24个。
练习二： 没有涂色的小方块数 = (n-1)³ = 64，所以 n-1 = 4，n = 5。即每条边切了5刀。
练习三： “均分给64个小朋友”意味着总块数是64。64 = 4³，所以 n+1=4, n=3。两面涂色（裹金箔）数 = 12 × (n-1) = 12 × 2 = 24块。
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