一招判断正方体展开图：图解“一线不过四，田凹应弃之”口诀 | 小学数学空间思维：典型例题精讲
适用年级
五年级
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最近更新
2025-12-20
展开图判断：用“折纸魔法”看透立方体
面对一个平面图形，你是否能一眼看穿它能否“变身”成一个正方体？这就像一场空间想象力的魔法考试。别担心，记住阿星的魔法口诀，你就能轻松识破所有伪装！
💡 阿星解密：为什么口诀长这样？
想象你手里有一张可以神奇折叠的纸片，上面画着六个相连的正方形。我们的目标，是把它折成一个封闭的“盒子”（正方体）。在折叠的魔法世界里，有两条绝对不能违反的“空间法则”：
- “一线不过四”：如果把正方形排成一条笔直的线，这条线最多只能有4个正方形。如果有第5个，它就会变成一条无法收口的“长蛇”，永远围不成一个封闭的立体空间。
- “田凹应弃之”：如果图形里出现了汉字“田”字格的形状（四个小正方形组成一个大正方形），或者出现了“凹”字形的缺口，那么在折叠时，必然会有面严重冲突（重叠）或者无法闭合。这两类图形被魔法世界永久禁止。
所以，口诀就是你的“魔法咒语”，用来快速检验一张平面设计图是否符合折叠成立方体的根本规则。
👀 看图说话：空间折叠法则演示
关键点拨：
图中的“一线”指的是图形中在同一行或同一列连续排列的正方形。口诀检查的就是这些“队伍”的长度。那个容易被忽略的“隐形规则”是：一个正方体有6个面，在平面展开图中，这6个面必须通过“上下左右”的相邻关系连接成一个整体，且折叠时任何两个面都不能重叠。“田”和“凹”结构破坏了这一根本规则。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】判断下面哪个图形是正方体的展开图？（经典“141型”）
图形A： □ □ □ □ □ □ 图形B： □ □ □ □ □ □
阿星的显微镜（空间验证）：
对图形A（141型）进行“慢动作折叠”：
上[□]
左[□] 前[□] 右[□] 后[□]
下[□]
步骤：
1. 将“上”面折下来。
2. 将“左”、“右”、“后”三个面竖起来。
3. 最后将“下”面折上来，与“前、左、右、后”四个面的底边相连，完美闭合！
口诀检验：最长一列（中间行）有4个正方形，符合“一线不过四”；没有“田”或“凹”结构。 ✓
对图形B（“33型”或“Z型”）：
[□][□]
[□] [□]
[□][□]
尝试折叠：中间空缺的部分无法被任何一个面覆盖，折叠后会出现一个“洞”，不是封闭立方体。
口诀检验：虽然没有超过4个一线，但整体结构类似“凹”字形变体，应弃之。✗
【易错陷阱】这个图形看起来很有规律，它能折成正方体吗？
□ □ □ □ □ □
（提示：仔细看中间一列）
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：看到图形对称、有“三行”，就以为是“231型”的变体，凭感觉判断为“能”。
图解陷阱：让我们标上面号，并用阿星口诀严格检查：
1[□] 2[□]
3[□] 4[□] 5[□]
6[□]
关键问题：看中间一列，由面2、4、6组成。这没问题。
但是，看从左到右的第二行：它由面3、4、5组成吗？不！
实际上，面3和面4相邻，面4和面5相邻，但面3和面5并不直接相邻！它们中间隔着面1和面2的“T”型结构顶部。
这个图形隐藏着一个“田”字结构的半个骨架（面1,2,3,4的位置关系）。折叠时，面1和面4会争夺同一个空间，导致冲突。
正确思路：代入核心口诀“田凹应弃之”。此图形含有导致“田”字冲突的潜在结构，因此不能折成正方体。正确答案是：不能。
【高手进阶】下图是一个包装盒的平面设计图，它需要剪下来折叠成一个立方体小盒子。设计师的方案可行吗？
[商标] [侧面A] [侧面B]
[盖舌] [底面] [侧面C]
[盖舌]
思维迁移：
1. 抽象模型：忽略图案和文字，将每个中括号“[]”视为一个正方形面。图形转化为：
□ □ □
□ □ □
□
2. 应用口诀判断：这就是我们刚刚在【易错陷阱】里分析过的图形！根据刚才的结论，它含有“田”字冲突结构，无法折成无缝的立方体。
3. 回归实际：告诉设计师，这个设计方案在折叠时，“商标”所在的面和“侧面C”所在的面会重叠在一起，导致盒子无法正常闭合或者粘贴边相互冲突，需要重新布局。
迁移心得：现实中的很多设计问题（包装、折纸、三维拼图）都藏着“展开图判断”的数学模型。解决问题的第一步，总是抽象出几何图形，并用严谨的口诀或法则进行验证。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
平面图形想变身，
空间法则要记真。
一线不过四为限，
田凹弃之莫疑问。
🚀 举一反三：巩固练习
判断经典“231型”展开图：
□
□ □
□ □ □
（最下面一行三个□左对齐）能否折成正方体？用口诀验证。
下面哪个图形是陷阱？
A. □□□
□□□
B. □
□□□
□ □
一个立方体，在三个相邻面上画了圆、三角、方形。它的一个展开图如下，判断折叠后，与“圆形”面相对的是什么图形？
[方] [圆]
[三角] [ ] [ ]
[ ]
📚 答案与解析
【答案速查】
- 母题演示：图形A（是），图形B（否）。
- 易错陷阱：不能。
- 练习一：能。最长一列（第三行）有3个，无田凹。
- 练习二：B是陷阱。A是“33型”，可以；B存在“凹”字形结构。
- 练习三：与“圆形”相对的是空白面（即未标记图形）。需要通过空间想象或标号法确定：折叠后，“圆形”与它右下角那个空白面相对。
高手进阶：不可行。
【练习三简要解析】：给展开图标号，假设中间一列从上到下为面1(圆)、面2、面3。通过模拟折叠可知，面1（圆）的对面是面3（空白）。面2（三角）的对面是另一个空白面。此题为更高阶的“展开图找对面”问题，核心仍建立在正确判断展开图的基础上。
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