阿星拆解：我们一步步来，就像搭多米诺骨牌。

第1步：拆项（找到每张牌的“分身”）
记住公式：\( \frac{1}{n\times(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)。这里 \( n \) 从1到9。
所以：
\( \frac{1}{1\times2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \)；
\( \frac{1}{2\times3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \)；
\( \frac{1}{3\times4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \)；
… …
\( \frac{1}{9\times10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \)。

第2步：相加（把所有的“分身”排成一排）
原式 = \( (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \cdots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) \)。

第3步：相消（推倒第一张牌，看中间牌消失）
把括号全部去掉（因为都是加法，括号可以直接去掉）：
\( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \)。
看！\( -\frac{1}{2} \) 和 \( +\frac{1}{2} \) 抵消，\( -\frac{1}{3} \) 和 \( +\frac{1}{3} \) 抵消……一直到 \( -\frac{1}{9} \) 和 \( +\frac{1}{9} \) 抵消。
所有中间项，像多米诺骨牌一样，一个接一个地倒下了（消失了）！

第4步：得结果（只剩首尾）
最后只剩下第一项 \( \frac{1}{1} \) 和最后一项 \( -\frac{1}{10} \)。
所以，结果 = \( 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \)。

阿星敲黑板：陷阱来了！公式 \( \frac{1}{n\times(n+1)} \) 要求两个数相差1。但这题里，2和4差2，4和6差2……直接套公式会翻车！

破解方法：把“差距”统一提取出来，变回我们熟悉的样子。

第1步：观察与变形
每一项都是 \( \frac{1}{[2\times k] \times [2\times (k+1)]} \)，其中 \( k \) 从1到9。
更直观地说：每一项是 \( \frac{1}{2n \times 2(n+1)} \)，这里 \( n \) 从1到9。
关键操作：把分母里的公因数2提出来！
\( \frac{1}{2n \times 2(n+1)} = \frac{1}{4 \times n(n+1)} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{n(n+1)} \)。
看，我们成功地把问题变回了 入门例题 的类型，只是前面多了一个 \( \frac{1}{4} \)。

第2步：拆项与计算
原式 = \( \frac{1}{4} \times \left[ \frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} + \cdots + \frac{1}{9\times10} \right] \)。
括号里的和，我们刚才在入门题里已经算过了，是 \( \frac{9}{10} \)。
所以，原式 = \( \frac{1}{4} \times \frac{9}{10} = \frac{9}{40} \)。

记住这个教训：遇到分母数字间隔相等（比如都差2、差3），先提公因数，把它变成标准型！

思维迁移：虽然分子变成了2，分母也差2，但“多米诺骨牌”的本质没变！我们依然可以把它“拆”成两个分数的差，只是拆法需要一点小调整。

第1步：寻找拆项公式
我们需要把 \( \frac{2}{n(n+2)} \) 拆成 \( \frac{A}{n} - \frac{B}{n+2} \)。
通分计算：\( \frac{A}{n} - \frac{B}{n+2} = \frac{A(n+2) - Bn}{n(n+2)} = \frac{(A-B)n + 2A}{n(n+2)} \)。
我们希望它等于 \( \frac{2}{n(n+2)} \)，所以必须让：
① \( A - B = 0 \) （这样分子才没有含 \( n \) 的项）
② \( 2A = 2 \)
解这个方程组，得到 \( A = 1, B = 1 \)。
所以，通用公式诞生了：\( \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \)。

第2步：应用公式，开始“拆牌”
这里 \( n \) 依次是 1, 3, 5, ..., 19（都是奇数）。
原式 = \( (\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \cdots + (\frac{1}{19} - \frac{1}{21}) \)。

第3步：观察“骨牌”如何倒下
去掉括号：\( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{19} - \frac{1}{21} \)。
你发现了什么？\( -\frac{1}{3} \) 和 \( +\frac{1}{3} \) 抵消，\( -\frac{1}{5} \) 和 \( +\frac{1}{5} \) 抵消……但是，这次的骨牌是隔一个倒一个！因为每一项的“尾巴” \( -\frac{1}{n+2} \) 要和隔一项的“头” \( +\frac{1}{n+2} \) 才能相遇抵消。不过规律是一样的：所有中间项（从 \( \frac{1}{3} \) 到 \( \frac{1}{19} \) ）都抵消了！

第4步：得到结果
最后剩下第一张牌的头 \( \frac{1}{1} \)，和最后一张牌的尾 \( -\frac{1}{21} \)。
结果 = \( 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21} \)。

看，即使分子变了，分母差变了，“拆项-相消”这个核心玩法丝毫没变！