揭秘“不会掉落的井盖”：恒宽曲线（勒洛三角形）举一反三全攻略 | 阿星数学：典型例题精讲
适用年级
几何
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最近更新
2025-12-20
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💡 阿星精讲：恒宽曲线 的本质
大家好，我是阿星！想象一下，我们常见的圆形井盖，无论你怎么转，它都掉不进井口，这是因为圆的每条“宽”都是直径，恒定不变。但圆形并不是唯一拥有这个“超能力”的形状！它有一个“兄弟”家族，叫恒宽曲线。
就像勒洛三角形，虽然看起来像由三个圆弧拼成的“胖三角”，但它旋转时，任意两条平行切线间的距离——也就是“宽度”——始终保持为定值 \( w \)。这个性质让它和圆一样，能作为“不会掉落的井盖”。数学上，若一个凸形的宽度（平行支撑线间的距离）在所有方向上都是常数，那它就是恒宽曲线。圆只是这个家族中（周长与面积之比最优的）最简单成员。
🔥 经典例题精析
题目：一个勒洛三角形的构造基于一个边长为 \( a \) 的正三角形。其三个顶点处的弧是以对侧顶点为圆心，\( a \) 为半径画出的圆弧。已知此勒洛三角形的恒定宽度 \( w = a = 10 \, \text{cm} \)。求：
1. 该勒洛三角形的周长。
2. 该勒洛三角形的面积（取 \( \pi \approx 3.14 \)）。
阿星拆解：
步骤一：理解结构。 勒洛三角形由三段相同的圆弧构成。每段圆弧的圆心是正三角形的一个顶点，半径是边长 \( a = 10 \)，圆心角是正三角形的一个外角，为 \( 60^\circ \) 的补角？不对，仔细看：顶点处的弧是以“对侧顶点”为圆心。以正三角形ABC为例，顶点A处的弧是以B、C为圆心吗？不，是以“对侧顶点”为圆心，即弧BC（对边）是以A为圆心。所以，弧BC的圆心是A，半径AB=AC=a，圆心角是正三角形的一个内角 \( \angle BAC = 60^\circ \)。因此，三段弧都是半径为 \( a \)、圆心角为 \( 60^\circ \) 的圆弧。
步骤二：求周长。 一段弧长 \( l = \frac{60}{360} \times 2\pi a = \frac{1}{6} \times 2\pi a = \frac{\pi a}{3} \)。总周长 \( P = 3 \times \frac{\pi a}{3} = \pi a \)。代入 \( a = 10 \)：\( P = 10\pi \approx 31.4 \, \text{cm} \)。
步骤三：求面积。 勒洛三角形的面积可由一个正三角形面积加上三个相同弓形面积计算，但更直接的方法是：面积 = 正三角形面积 + 三倍（60°扇形面积 - 正三角形面积）。因为整个图形可以看成正三角形ABC，加上三个以A、B、C为圆心，a为半径的60°扇形，但每个扇形覆盖了正三角形一次，且三个扇形重叠了中央区域。更优公式：勒洛三角形面积 \( S = \frac{1}{2}(\pi - \sqrt{3}) a^2 \)。代入计算：\( S = \frac{1}{2}(3.14 - 1.732) \times 10^2 = \frac{1}{2} \times 1.408 \times 100 = 70.4 \, \text{cm}^2 \)。
口诀：恒宽曲线兄弟多，勒洛三角是楷模；三段弧，六十角，周长就是 \( \pi a \) 妥；面积公式记心窝，半乘（\( \pi \) 减根三）再乘 \( a \) 方。
🚀 举一反三：变式挑战
若一个勒洛三角形的恒定宽度 \( w = 6 \, \text{cm} \)，求其周长和面积（取 \( \pi \approx 3.14, \sqrt{3} \approx 1.732 \)）。
（提示：宽度 \( w \) 即构造正三角形的边长 \( a \)。）
已知一个勒洛三角形的周长为 \( 18.84 \, \text{cm} \)（取 \( \pi = 3.14 \)），求它的恒定宽度 \( w \) 和面积。
一个圆形（直径 \( d = 10 \, \text{cm} \)）和一个勒洛三角形（宽度 \( w = 10 \, \text{cm} \)）具有相同的“宽度”。请问：
1. 哪个图形的周长更长？长多少？
2. 哪个图形的面积更大？大多少？（取 \( \pi \approx 3.14, \sqrt{3} \approx 1.732 \)）
（提示：这揭示了恒宽曲线家族的一个有趣现象：相同宽度下，圆是面积最大、周长最短的。）
答案与解析
经典例题答案：
1. 周长：\( P = \pi a = 10\pi \approx 31.4 \, \text{cm} \)。
2. 面积：\( S = \frac{1}{2}(\pi - \sqrt{3}) a^2 = \frac{1}{2}(3.14 - 1.732) \times 100 = 70.4 \, \text{cm}^2 \)。
举一反三解析：
变式一： \( a = w = 6 \)。周长 \( P = \pi a = 6\pi \approx 18.84 \, \text{cm} \)。面积 \( S = \frac{1}{2}(\pi - \sqrt{3}) a^2 = \frac{1}{2}(3.14-1.732) \times 36 \approx 0.704 \times 18 = 12.672 \, \text{cm}^2 \)。
变式二： 由周长 \( P = \pi a = 18.84 \) 得 \( a = 18.84 / 3.14 = 6 \, \text{cm} \)。所以宽度 \( w = a = 6 \, \text{cm} \)。面积 \( S = \frac{1}{2}(\pi - \sqrt{3}) \times 6^2 \approx 12.672 \, \text{cm}^2 \)。
变式三：
1. 圆周长 \( C_{圆} = \pi d = 10\pi \approx 31.4 \, \text{cm} \)。勒洛三角周长 \( P_{勒洛} = \pi w = 10\pi \approx 31.4 \, \text{cm} \)。惊奇发现：两者周长相等！（对于所有由圆弧构成的恒宽曲线，若宽度为 \( w \)，周长均为 \( \pi w \)。）
2. 圆面积 \( A_{圆} = \pi (d/2)^2 = \pi \times 25 \approx 78.5 \, \text{cm}^2 \)。勒洛三角面积 \( S_{勒洛} = \frac{1}{2}(\pi - \sqrt{3}) w^2 \approx 70.4 \, \text{cm}^2 \)。圆面积比勒洛三角面积大 \( 78.5 - 70.4 = 8.1 \, \text{cm}^2 \)。这验证了：在等宽曲线中，圆拥有最大面积。
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