秒懂全等三角形SAS判定：别再被“边边角”骗了！零基础也能成大神：典型例题精讲
适用年级
五年级
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星起步：全等三角形SAS 的底层逻辑
想象一下，你手里有两块三角形的拼图。你怎么能百分之百确定，它们俩能严丝合缝地拼在一起，形状大小一模一样呢？
SAS定理，就是一把神奇的“形状锁”。它告诉你：如果你知道一个三角形的两条边，以及这两条边所夹的角，和另一个三角形对应相等，那么这两个三角形就必定全等，像双胞胎一样分毫不差。
为什么必须是“夹角”这个“钥匙”？
你可以想象在订书机上装订纸：两个手臂（两条边）的长度是固定的，它们之间的开口角度（夹角）也是固定的。那么，这两个手臂的末端距离（第三边）就被唯一确定了，整个“订书机”的形状就被锁死了，不可能再变来变去。
那“边边角”（SSA）为什么不行？
我们用两根钉子和两根绳子来演示。把两根钉子钉在墙上，它们之间的距离是固定的（相当于一条边）。你拿两根长度固定的绳子（相当于另外两边），一端分别固定在钉子上。
- SAS（夹角）：你固定好两根绳子在钉子上的夹角，那么两根绳子的另一端（顶点）就必然交汇于一个唯一的点，三角形唯一。
- SSA（非夹角）：你只知道一根绳子的长度和它对面的角度，另一根绳子长度固定但角度自由。这时，这根自由绳子的另一端，可能落在两个不同的位置（就像可以“摇头”一样），从而画出两个形状不同的三角形！所以，“边边角”不能作为可靠的“形状锁”。
记住，SAS的核心就是“锁定顶点”。两条边像两条手臂，它们的夹角一固定，这两条手臂的端点（即第三个顶点）就被死死地定在唯一的位置上，整个三角形也就唯一了。
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】如图，已知 \(AB = DE = 5 \, \text{cm}\)，\(AC = DF = 7 \, \text{cm}\)，\(\angle A = \angle D = 60^\circ\)。请问：\(\triangle ABC\) 与 \(\triangle DEF\) 全等吗？依据是什么？
阿星拆解：
- 看条件：题目给了我们两组边和一个角。
- 找“夹角”：这是最关键的一步！我们必须检查，这个角是不是那两组边的夹角。在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A\) 的两条边是哪两条？是 \(AB\) 和 \(AC\)。给出的条件正好是 \(AB=5\)，\(AC=7\)，\(\angle A=60^\circ\)。
- 对应相等：在 \(\triangle DEF\) 中，\(\angle D\) 的两条边是 \(DE\) 和 \(DF\)。条件也是 \(DE=5\)，\(DF=7\)，\(\angle D=60^\circ\)。
- 下结论：在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，
\(AB = DE\)（已知），
\(\angle A = \angle D\)（已知），
\(AC = DF\)（已知）。
并且，\(\angle A\) 是 \(AB\) 和 \(AC\) 的夹角，\(\angle D\) 是 \(DE\) 和 \(DF\) 的夹角，满足“夹角”要求。所以根据 SAS（边角边） 定理，\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)。
【进阶例题】如图，点 \(B, F, C, E\) 在同一直线上。已知 \(AB // DE\)，\(AB = DE = 8 \, \text{m}\)，\(BC = EF = 100 \, \text{cm}\)。那么 \(\triangle ABC\) 与 \(\triangle DEF\) 全等吗？
阿星敲黑板：这道题有两个大坑！我们一步步来。
- 坑一：单位换算。 条件中 \(AB\) 和 \(DE\) 的单位是“米”(m)，而 \(BC\) 和 \(EF\) 的单位是“厘米”(cm)。我们必须先统一单位才能比较。\(100 \, \text{cm} = 1 \, \text{m}\)。所以，\(BC = EF = 1 \, \text{m}\)。
- 坑二：找夹角。 现在我们有 \(AB = DE = 8 \, \text{m}\)，\(BC = EF = 1 \, \text{m}\)。它们相等了。但是，要使用SAS，我们必须找到一个角是这两条边的夹角！我们有的是 \(AB // DE\) 这个条件，它能帮我们得到相等的角。
- 挖出隐藏的角：
- 因为 \(AB // DE\)，且直线 \(BEC\) 是截线，所以内错角 \(\angle ABC = \angle DEF\)。
- 观察 \(\triangle ABC\)，\(\angle ABC\) 的两条边是 \(AB\) 和 \(BC\)。
- 观察 \(\triangle DEF\)，\(\angle DEF\) 的两条边是 \(DE\) 和 \(EF\)。
- 下结论：在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，
\(AB = DE = 8 \, \text{m}\)（已知，已统一单位），
\(\angle ABC = \angle DEF\)（由 \(AB // DE\) 得到的内错角相等），
\(BC = EF = 1 \, \text{m}\)（已知，已统一单位）。
并且，\(\angle ABC\) 是 \(AB\) 和 \(BC\) 的夹角，\(\angle DEF\) 是 \(DE\) 和 \(EF\) 的夹角。完美满足SAS。所以，\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)。
【拔高例题】如图，在四边形 \(ABCD\) 中，\(AD = BC\)，且 \(AD // BC\)。连接对角线 \(AC\) 和 \(BD\)，相交于点 \(O\)。求证：\(\triangle AOD \cong \triangle COB\)。
思维迁移：这道题没有直接给出“两边一角”，三角形也藏在四边形里。但核心逻辑没变：先找到两组相等的边，再想办法证明它们所夹的角相等，最后锁定SAS。
- 梳理已知： \(AD = BC\)（已知边），\(AD // BC\)（用于推导角相等）。
- 寻找目标三角形的边与角：
- 我们要证 \(\triangle AOD \cong \triangle COB\)。
- 从图上找，\(AD\) 和 \(BC\) 已经是它们的一组对应边。
- 另一组边呢？注意 \(AC\) 和 \(BD\) 是相交的，有公共部分。因为 \(AD // BC\)，四边形 \(ABCD\) 是平行四边形吗？是的！根据“一组对边平行且相等”，所以 \(ABCD\) 是平行四边形。因此，\(AO = OC\)，\(DO = OB\)（平行四边形对角线互相平分）。但这里我们不直接用这个性质，我们用更基础的。
- 锁定“夹角”并证明它相等：
- 在 \(\triangle AOD\) 和 \(\triangle COB\) 中，\(AD\) 和 \(BC\) 是我们选定的一组边。那么它们的夹角是谁？
- 对于 \(AD\)，在 \(\triangle AOD\) 中，它的两个邻角是 \(\angle OAD\) 和 \(\angle ODA\)。我们选哪个？要看另一个三角形 \(COB\) 中，\(BC\) 的邻角谁能和它对应相等。
- 因为 \(AD // BC\)，直线 \(AC\) 是截线，所以内错角 \(\angle OAD = \angle OCB\)。
- 同样因为 \(AD // BC\)，直线 \(BD\) 是截线，所以内错角 \(\angle ODA = \angle OBC\)。
- 但是，\(\angle OAD\) 和 \(\angle ODA\) 是 \(AD\) 的两边和 \(AO\)、\(DO\) 组成的角，不是我们要的。我们需要的是由 \(AD\)、\(AO\)、\(DO\) 围成的角，即 \(\angle AOD\) 吗？不对，\(\angle AOD\) 不是 \(AD\) 的夹角。
- 关键思路转变：我们不一定要用 \(AD\) 和 \(BC\) 作为SAS的那两组边！我们可以找别的边。观察发现，对顶角 \(\angle AOD = \angle COB\) 是天然相等的！而且，夹住这个对顶角的两条边是 \(AO\) 与 \(OD\)，以及 \(CO\) 与 \(OB\)。所以，如果我们能证明 \(AO=CO\)， \(DO=BO\)，就可以用SAS了。
- 证明所需边相等：
- 在 \(\triangle AOD\) 和 \(\triangle COB\) 中，
\(\angle AOD = \angle COB\)（对顶角相等），
\(AD = BC\)（已知）。
但是，这满足“角角边”(AAS)或“边边角”(SSA)吗？都不是我们想要的SAS。这条路不通。 - 再次转变思路：回到最初的平行四边形判定。由 \(AD = BC\) 且 \(AD // BC\)，直接可判定四边形 \(ABCD\) 为平行四边形。因此，对角线互相平分，即 \(AO = CO\)， \(DO = BO\)。
- 在 \(\triangle AOD\) 和 \(\triangle COB\) 中，
- 最终论证：在 \(\triangle AOD\) 和 \(\triangle COB\) 中，
\(AO = CO\)（平行四边形对角线互相平分），
\(\angle AOD = \angle COB\)（对顶角相等），
\(DO = BO\)（平行四边形对角线互相平分）。
并且，\(\angle AOD\) 是 \(AO\) 和 \(DO\) 的夹角，\(\angle COB\) 是 \(CO\) 和 \(BO\) 的夹角。 所以，根据 SAS， \(\triangle AOD \cong \triangle COB\)。
📝 阿星必背口诀：
全等判定 SAS，关键钥匙是夹角。
两边一角对应好，形状唯一锁得牢。
边边角（SSA）是冒牌货，摇头摆尾不可靠！
🚀 举一反三：变式挑战
已知：如图，\(AC\) 和 \(BD\) 相交于点 \(O\)，且 \(OA=OC\)， \(OB=OD\)。求证：\(\triangle AOB \cong \triangle COD\)。
如图，已知 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 是根据 SAS 判定的。其中 \(AB = DE = 10\)， \(\angle B = \angle E = 50^\circ\)，那么要使 SAS 成立，必须再补充一个什么条件？
如图，在等腰三角形 \(ABC\) 中 (\(AB = AC\))，点 \(D\)、\(E\) 分别在边 \(AB\)、\(AC\) 上，且 \(AD = AE\)。连接 \(BE\) 和 \(CD\)，相交于点 \(F\)。求证：\(\triangle ABE \cong \triangle ACD\)，并进一步说明 \(BF = CF\)。
解析与答案
【详尽解析】
入门例题：全等。依据是SAS（边角边）定理。
进阶例题：全等。需注意单位换算（1m=100cm）和利用平行线证明夹角 \(\angle ABC = \angle DEF\)。
拔高例题：证明过程见上文“思维迁移”部分。
举一反三解析：
- 变式一：在 \(\triangle AOB\) 和 \(\triangle COD\) 中，\(OA=OC\)， \(OB=OD\)，且 \(\angle AOB = \angle COD\)（对顶角相等）。该角正好是 \(OA\) 与 \(OB\)、\(OC\) 与 \(OD\) 的夹角，满足SAS，所以全等。
- 变式二：必须补充的条件是 \(BC = EF\)。因为 \(\angle B\) 是 \(AB\) 和 \(BC\) 的夹角，\(\angle E\) 是 \(DE\) 和 \(EF\) 的夹角，要使SAS成立，必须让夹角的两条边都对应相等。
- 变式三：
- 证明 \(\triangle ABE \cong \triangle ACD\)：在 \(\triangle ABE\) 和 \(\triangle ACD\) 中，\(AB=AC\)（等腰三角形），\(AD=AE\)（已知），\(\angle A\) 是公共角，且是 \(AB\) 与 \(AE\)、\(AC\) 与 \(AD\) 的夹角，满足SAS，所以 \(\triangle ABE \cong \triangle ACD\)。
- 说明 \(BF=CF\)：由上文全等可知 \(\angle ABE = \angle ACD\)。又因为 \(AB=AC\)，且 \(\angle A\) 公共，可考虑证明 \(\triangle BCF\) 等腰或证明 \(\triangle BDF \cong \triangle CEF\)。更简单的方法是利用第一次全等得到的边 \(BE=CD\)，以及等式性质 \(BD=CE\)（因为AB-AD=AC-AE），再结合 \(\angle DBC = \angle ECB\)（等腰三角形底角相等），对 \(\triangle DBC\) 和 \(\triangle ECB\) 使用SAS（\(BD=CE\)， \(\angle DBC=\angle ECB\)， \(BC\) 公共边），得到 \(\triangle DBC \cong \triangle ECB\)，从而 \(\angle BCF = \angle CBF\)，所以 \(BF=CF\)。