阿星拆解：

别被符号吓到，它就是在问：“46除以7，余数是多少？” 因为同余就是看余数相同，而 \( x \) 小于7，那 \( x \) 就是我们要找的余数。

1. 我们列式计算：\( 46 ÷ 7 = ? \)

2. 想一下：\( 7 × 6 = 42 \)，最接近46且不超过它。

3. 那么，\( 46 - 42 = 4 \)。所以，46除以7，商6，余4。

4. 因此，\( 46 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7) \)。答案就是 \( x = 4 \)。

看，这就好比问“46天后是星期几？”先去掉完整的6周（42天），剩下的4天才是决定因素。

阿星敲黑板：

陷阱警报！ \( 10^{10} \) 是一个天文数字（100亿），根本没法直接除。但周期思想告诉我们，我们只关心它除以7的余数。所以核心变成：如何求 \( 10^{10} \div 7 \) 的余数？

1. 我们先找小周期的规律。从 \( 10^1 \) 开始试试：

\( 10 ÷ 7 = 1...\textbf{3} \) 所以 \( 10 \equiv 3 \ (\text{mod} \ 7) \)

\( 10^2 = 100 \)。 \( 100 ÷ 7 = 14...\textbf{2} \) 所以 \( 10^2 \equiv 2 \ (\text{mod} \ 7) \)

\( 10^3 = 1000 \)。 \( 1000 ÷ 7 = 142...\textbf{6} \) 所以 \( 10^3 \equiv 6 \ (\text{mod} \ 7) \)

\( 10^4 = 10000 \)。 \( 10000 ÷ 7 = 1428...\textbf{4} \) 所以 \( 10^4 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7) \)

\( 10^5 = 100000 \)。 \( 100000 ÷ 7 = 14285...\textbf{5} \) 所以 \( 10^5 \equiv 5 \ (\text{mod} \ 7) \)

\( 10^6 = 1000000 \)。 \( 1000000 ÷ 7 = 142857...\textbf{1} \) ！所以 \( 10^6 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7) \)。

2. 神奇规律出现了！ \( 10^6 \) 除以7余1。这意味着每6次方一个循环（周期为6）。

3. 现在处理 \( 10^{10} \)。指数10和周期6什么关系？ \( 10 ÷ 6 = 1...4 \)。所以：

\( 10^{10} = 10^{6×1 + 4} = (10^6)^1 × 10^4 \)。

因为 \( 10^6 \equiv 1 \)，所以 \( (10^6)^1 \equiv 1 \)。

前面我们算过 \( 10^4 \equiv 4 \)。

所以 \( 10^{10} \equiv 1 × 4 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7) \)。

4. 因此，\( 10^{10} \) 天相当于 4天。从星期三起，往后推4天：周四、周五、周六、周日。

最终答案：周日。

思维迁移：

题目换了个“马甲”，不再是星期几，但内核还是周期和余数！它描述了两个“周期”：

条件一：数 \( \equiv 2 \ (\text{mod} \ 5) \) → 周期为5，余2。

条件二：数 \( \equiv 3 \ (\text{mod} \ 7) \) → 周期为7，余3。

我们要找一个同时满足两个周期条件的数。

1. 我们从满足第一个条件的数里找：它们是 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32...（每次加5）。

2. 我们检查这些数，看谁除以7余3：

2 ÷ 7 = 0...2 (不行)

7 ÷ 7 = 1...0 (不行)

12 ÷ 7 = 1...5 (不行)

17 ÷ 7 = 2...3 ✓ 找到了！

3. 所以，同时满足两个条件的最小数是 17。

4. （知识延伸） 其实，所有的解会形成一个更大的周期，即5和7的最小公倍数35。所以答案可以写成 \( 17 + 35k \)（k是任意非负整数），17是最小的那个。

看，是不是和我们算“星期几”时，先找小周期（除以7的余数）的思路一模一样？这就是同余思想的广泛应用！